超级狩猎者
【评注】 本题应注意点M(x,y)在曲线C2上，因此满足y?ex.
17……【分析】 题设图形相当于已知f(x)在x=0的函数值与导数值，在x=3处的函数值及一阶、二阶导数值.
【详解】 由题设图形知，f(0)=0, f?(0)?2; f(3)=2, f?(3)??2,f??(3)?0. 由分部积分，知
?
30(x2?x)f???(x)dx??(x2?x)df??(x)?(x2?x)f??(x)0330??f??(x)(2x?1)dx
03 =??30(2x?1)df?(x)??(2x?1)f?(x)30?2?f?(x)dx
03 =16?2[f(3)?f(0)]?20.
【评注】 本题f(x) 在两个端点的函数值及导数值通过几何图形给出，题型比较新颖，综合考查了导数的几何意义和定积分的计算. 另外，值得注意的是，当被积函数含有抽象函数的导数时，一般优先考虑用分部积分.
完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.118【例4.36,4.30】
dyd2y,2，再用二阶常系数线性微分方程的方法求18…….【分析】 先将y?,y??转化为
dtdt解即可.
【详解】 y??dydt1dy???， dtdxsintdtdy?dtcostdy1d2y1??[2?]?(?)， y???2dtdxsintdtsintdtsintd2y?y?0. 代入原方程，得
dt2解此微分方程，得 y?C1cots?C2sint?C1x?C21?x2， 将初始条件yx?0?1,y?x?0?2代入，有C1?2,C2?1. 故满足条件的特解为
y?2x?1?x2.
dyd2y,2，而这主要是考查复合函数求一、二【评注】 本题的关键是将y?,y??转化为
dtdt阶导数.
完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.52【例2.8】
19…【.分析】 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，
超级狩猎者
可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.
【详解】 （I） 令F(x)?f(x)?1?x，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在存在??(0,1), 使得F(?)?0，即f(?)?1??.
（II） 在[0,?]和[?,1]上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点
??(0,?),??(?,1)，使得f?(?)?f(?)?f(0)f(1)?f(?)，f?(?)?
??01??于是 f?(?)f?(?)?f(?)1?f(?)1???????1. ?1???1??【评注】 中值定理的证明问题是历年出题频率最高的部分，而将中值定理与介值定理
或积分中值定理结合起来命题又是最常见的命题形式.
完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.128【例5.4】,P.151【例5.25】
20……【分析】 根据全微分和初始条件可先确定f(x,y)的表达式. 而f(x,y)在椭圆域上的最大值和最小值, 可能在区域的内部达到，也可能在区域的边界上达到，且在边界上的最值又转化为求条件极值.
.【详解】 由题设，知
?f?f?2x，??2y， ?x?y22于是 f(x,y)?x?C(y)，且 C?(y)??2y，从而 C(y)??y?C，
22再由f(1,1)=2，得 C=2, 故 f(x,y)?x?y?2.
?2f?f?f?0,?0得可能极值点为x=0,y=0. 且 A?2令?x?y?x(0,0)?2，
?2fB??x?y?2f?0，C?2(0,0)?y(0,0)??2，
??B2?AC?4?0，所以点(0,0) 不是极值点，从而也非最值点.
y2?1上的情形：令拉格朗日函数为 再考虑其在边界曲线x?42y2?1)， F(x,y,?)?f(x,y)??(x?42超级狩猎者
??f?2?x?2(1??)x?0,?Fx???x??f?y1?解 ?Fy?????2y??y?0,
?y22?2y?2?F?x??1?0,??4? 得可能极值点x?0,y?2,??4；x?0,y??2,??4；x?1,y?0,???1；
x??1,y?0,???1. 代入f(x,y)得f(0,?2)??2, f(?1,0)?3，可见z=f(x,y)在区域y2D?{(x,y)x??1}内的最大值为3，最小值为-2.
42 【评注】 本题综合考查了多元函数微分学的知识，涉及到多个重要基础概念，特别是通过偏导数反求函数关系，要求考生真正理解并掌握了相关知识.
完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.279【例10.33】
21…..【分析】 被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分即可.
22【详解】 记D1?{(x,y)x?y?1,(x,y)?D}，
D2?{(x,y)x2?y2?1,(x,y)?D}，
于是
??Dx2?y2?1d?=???(x2?y2?1)dxdy???(x2?y2?1)dxdy
D1D2?=??20d??(r2?1)rdr???(x2?y2?1)dxdy???(x2?y2?1)dxdy
01DD1?1?112?1222d?dx(x?y?1)dy?(r?1)rdr?. =+?=???0000438【评注】 形如积分
??Df(x,y)d?、
??max{f(x,y),g(x,y)}d?D、
??min{f(x,y),g(x,y)}d?、??[f(x,y)]d?、??sgn{f(x,y)?g(x,y)}d?等的被积函
DDD数均应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分.
完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.295【例11.16】
22……【分析】向量组?1,?2,?3可由向量组?1,?2,?3线性表示，相当与方程组：
?i?x1?1?x2?2?x3?3,i?1,2,3.
超级狩猎者
均有解，问题转化为r(?1,?2,?3)=r(?1,?2,?3??i),i?1,2,3是否均成立？这通过初等变换化解体形讨论即可. 而向量组?1,?2,?3不能由向量组?1,?2,?3线性表示，相当于至少有一个向量?j(j?1,2,3)不能由?1,?2,?3表示，即至少有一方程组
?j?x1?1?x2?2?x3?3,j?1,2,3，无解.
【详解】 对矩阵A?(?1,?2,?3??1,?2,?3)作初等行变换，有
?1?2?2?11a???
aa?1a1 A?(?1,?2,?3??1,?2,?3)=1???a?a11??a4??2?2?11a??1??
0 ? 0a?2a?2?0a?1????04?2a3a?01?a1?a???2?11a??1?2?，
0a?2a?2?0a?10?????0a?4?03(1?a)1?a??0??1?2?2?11?2???, 显然?不能由
0?0?30当a=-2时，A?00?1,?2,?3线性表2???3??00?6?03?示，因此a??2；当a=4时，
4??1?2?2?11??，然
6?030 A?06?2,?3均不能由?1,?2,?3线性表示，因
???0?0?9?3??00?此a?4.
而当a??2且a?4时，秩r(?1,?2,?3)?3，此时向量组?1,?2,?3可由向量组
?1,?2,?3线性表示.
?11a?1?2?2???
aa又B?(?1,?2,?3??1,?2,?3)?1a1?1???a??a11?a4?1a?1?2?2??1?? ?0a?11?a?0a?2a?2 ??2??01?a1?a?04?2a3a??超级狩猎者
1a?1?2?2??1?，
??0a?11?a?0a?2a?2??2?02?a?a?06?3a4a?2??0?由题设向量组
?1,?2,?3不能由向量组?1,?2,?3线性表示，必有a?1?0或
2?a?a2?0，即a=1或a??2.
综上所述，满足题设条件的a只能是：a=1.
【评注】 1)向量组?1,?2,?3不能由向量组?1,?2,?3线性表示，必有行列式：
[?1,?2,?3]?0，由此也可确定a .
2) 向量组能否线性表示的问题完全转化为线性方程组是否有解的问题.
完全类似处理思路见《数学复习指南》（理工类）P.442【例4.13】
23…….【分析】 AB=O, 相当于告之B的每一列均为Ax=0的解，关键问题是Ax=0的基础解系所含解向量的个数为多少，而这又转化为确定系数矩阵A的秩.
【详解】 由AB=O知，B的每一列均为Ax=0的解，且r(A)?r(B)?3.
（1）若k?9, 则r(B)=2, 于是r(A)?1, 显然r(A)?1, 故r(A)=1. 可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3-r(A)=2, 矩阵B的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系，
?1??3?????故Ax=0 的通解为：x?k1?2??k2?6?,k1,k2为任意常数.
?3??k?????(2) 若k=9，则r(B)=1, 从而1?r(A)?2.
?1???1） 若r(A)=2, 则Ax=0的通解为：x?k1?2?,k1为任意常数.
?3???2） 若r(A)=1,则Ax=0 的同解方程组为：ax1?bx2?cx3?0,不妨设a?0,则其通解
?b??c????????a??a?为 x?k1?1??k2?0?,k1,k2为任意常数.
?0??1?????????【评注】 AB=O这类已知条件是反复出现的，应该明确其引申含义：1）B 的每一列均为Ax=0的解；2）r(A)?r(B)?n.
本题涉及到对参数k及矩阵A的秩的讨论，这是考查综合思维能力的一种重要表现形
式，今后类似问题将会越来越多.
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完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.438【例4.21】, P.389【例2.36】