2005年考研数学二试题及答案

超级狩猎者

【评注】 本题应注意点M(x,y)在曲线C2上,因此满足y?ex.

17……【分析】 题设图形相当于已知f(x)在x=0的函数值与导数值,在x=3处的函数值及一阶、二阶导数值.

【详解】 由题设图形知,f(0)=0, f?(0)?2; f(3)=2, f?(3)??2,f??(3)?0. 由分部积分,知

?

30(x2?x)f???(x)dx??(x2?x)df??(x)?(x2?x)f??(x)0330??f??(x)(2x?1)dx

03 =??30(2x?1)df?(x)??(2x?1)f?(x)30?2?f?(x)dx

03 =16?2[f(3)?f(0)]?20.

【评注】 本题f(x) 在两个端点的函数值及导数值通过几何图形给出,题型比较新颖,综合考查了导数的几何意义和定积分的计算. 另外,值得注意的是,当被积函数含有抽象函数的导数时,一般优先考虑用分部积分.

完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P.118【例4.36,4.30】

dyd2y,2,再用二阶常系数线性微分方程的方法求18…….【分析】 先将y?,y??转化为

dtdt解即可.

【详解】 y??dydt1dy???, dtdxsintdtdy?dtcostdy1d2y1??[2?]?(?), y???2dtdxsintdtsintdtsintd2y?y?0. 代入原方程,得

dt2解此微分方程,得 y?C1cots?C2sint?C1x?C21?x2, 将初始条件yx?0?1,y?x?0?2代入,有C1?2,C2?1. 故满足条件的特解为

y?2x?1?x2.

dyd2y,2,而这主要是考查复合函数求一、二【评注】 本题的关键是将y?,y??转化为

dtdt阶导数.

完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P.52【例2.8】

19…【.分析】 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理;第二部分为双介值问题,

超级狩猎者

可考虑用拉格朗日中值定理,但应注意利用第一部分已得结论.

【详解】 (I) 令F(x)?f(x)?1?x,则F(x)在[0,1]上连续,且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知,存在存在??(0,1), 使得F(?)?0,即f(?)?1??.

(II) 在[0,?]和[?,1]上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理,知存在两个不同的点

??(0,?),??(?,1),使得f?(?)?f(?)?f(0)f(1)?f(?),f?(?)?

??01??于是 f?(?)f?(?)?f(?)1?f(?)1???????1. ?1???1??【评注】 中值定理的证明问题是历年出题频率最高的部分,而将中值定理与介值定理

或积分中值定理结合起来命题又是最常见的命题形式.

完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P.128【例5.4】,P.151【例5.25】

20……【分析】 根据全微分和初始条件可先确定f(x,y)的表达式. 而f(x,y)在椭圆域上的最大值和最小值, 可能在区域的内部达到,也可能在区域的边界上达到,且在边界上的最值又转化为求条件极值.

.【详解】 由题设,知

?f?f?2x,??2y, ?x?y22于是 f(x,y)?x?C(y),且 C?(y)??2y,从而 C(y)??y?C,

22再由f(1,1)=2,得 C=2, 故 f(x,y)?x?y?2.

?2f?f?f?0,?0得可能极值点为x=0,y=0. 且 A?2令?x?y?x(0,0)?2,

?2fB??x?y?2f?0,C?2(0,0)?y(0,0)??2,

??B2?AC?4?0,所以点(0,0) 不是极值点,从而也非最值点.

y2?1上的情形:令拉格朗日函数为 再考虑其在边界曲线x?42y2?1), F(x,y,?)?f(x,y)??(x?42超级狩猎者

??f?2?x?2(1??)x?0,?Fx???x??f?y1?解 ?Fy?????2y??y?0,

?y22?2y?2?F?x??1?0,??4? 得可能极值点x?0,y?2,??4;x?0,y??2,??4;x?1,y?0,???1;

x??1,y?0,???1. 代入f(x,y)得f(0,?2)??2, f(?1,0)?3,可见z=f(x,y)在区域y2D?{(x,y)x??1}内的最大值为3,最小值为-2.

42 【评注】 本题综合考查了多元函数微分学的知识,涉及到多个重要基础概念,特别是通过偏导数反求函数关系,要求考生真正理解并掌握了相关知识.

完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P.279【例10.33】

21…..【分析】 被积函数含有绝对值,应当作分区域函数看待,利用积分的可加性分区域积分即可.

22【详解】 记D1?{(x,y)x?y?1,(x,y)?D},

D2?{(x,y)x2?y2?1,(x,y)?D},

于是

??Dx2?y2?1d?=???(x2?y2?1)dxdy???(x2?y2?1)dxdy

D1D2?=??20d??(r2?1)rdr???(x2?y2?1)dxdy???(x2?y2?1)dxdy

01DD1?1?112?1222d?dx(x?y?1)dy?(r?1)rdr?. =+?=???0000438【评注】 形如积分

??Df(x,y)d?、

??max{f(x,y),g(x,y)}d?D、

??min{f(x,y),g(x,y)}d?、??[f(x,y)]d?、??sgn{f(x,y)?g(x,y)}d?等的被积函

DDD数均应当作分区域函数看待,利用积分的可加性分区域积分.

完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P.295【例11.16】

22……【分析】向量组?1,?2,?3可由向量组?1,?2,?3线性表示,相当与方程组:

?i?x1?1?x2?2?x3?3,i?1,2,3.

超级狩猎者

均有解,问题转化为r(?1,?2,?3)=r(?1,?2,?3??i),i?1,2,3是否均成立?这通过初等变换化解体形讨论即可. 而向量组?1,?2,?3不能由向量组?1,?2,?3线性表示,相当于至少有一个向量?j(j?1,2,3)不能由?1,?2,?3表示,即至少有一方程组

?j?x1?1?x2?2?x3?3,j?1,2,3,无解.

【详解】 对矩阵A?(?1,?2,?3??1,?2,?3)作初等行变换,有

?1?2?2?11a???

aa?1a1 A?(?1,?2,?3??1,?2,?3)=1???a?a11??a4??2?2?11a??1??

0 ? 0a?2a?2?0a?1????04?2a3a?01?a1?a???2?11a??1?2?,

0a?2a?2?0a?10?????0a?4?03(1?a)1?a??0??1?2?2?11?2???, 显然?不能由

0?0?30当a=-2时,A?00?1,?2,?3线性表2???3??00?6?03?示,因此a??2;当a=4时,

4??1?2?2?11??,然

6?030 A?06?2,?3均不能由?1,?2,?3线性表示,因

???0?0?9?3??00?此a?4.

而当a??2且a?4时,秩r(?1,?2,?3)?3,此时向量组?1,?2,?3可由向量组

?1,?2,?3线性表示.

?11a?1?2?2???

aa又B?(?1,?2,?3??1,?2,?3)?1a1?1???a??a11?a4?1a?1?2?2??1?? ?0a?11?a?0a?2a?2 ??2??01?a1?a?04?2a3a??超级狩猎者

1a?1?2?2??1?,

??0a?11?a?0a?2a?2??2?02?a?a?06?3a4a?2??0?由题设向量组

?1,?2,?3不能由向量组?1,?2,?3线性表示,必有a?1?0或

2?a?a2?0,即a=1或a??2.

综上所述,满足题设条件的a只能是:a=1.

【评注】 1)向量组?1,?2,?3不能由向量组?1,?2,?3线性表示,必有行列式:

[?1,?2,?3]?0,由此也可确定a .

2) 向量组能否线性表示的问题完全转化为线性方程组是否有解的问题.

完全类似处理思路见《数学复习指南》(理工类)P.442【例4.13】

23…….【分析】 AB=O, 相当于告之B的每一列均为Ax=0的解,关键问题是Ax=0的基础解系所含解向量的个数为多少,而这又转化为确定系数矩阵A的秩.

【详解】 由AB=O知,B的每一列均为Ax=0的解,且r(A)?r(B)?3.

(1)若k?9, 则r(B)=2, 于是r(A)?1, 显然r(A)?1, 故r(A)=1. 可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3-r(A)=2, 矩阵B的第一、第三列线性无关,可作为其基础解系,

?1??3?????故Ax=0 的通解为:x?k1?2??k2?6?,k1,k2为任意常数.

?3??k?????(2) 若k=9,则r(B)=1, 从而1?r(A)?2.

?1???1) 若r(A)=2, 则Ax=0的通解为:x?k1?2?,k1为任意常数.

?3???2) 若r(A)=1,则Ax=0 的同解方程组为:ax1?bx2?cx3?0,不妨设a?0,则其通解

?b??c????????a??a?为 x?k1?1??k2?0?,k1,k2为任意常数.

?0??1?????????【评注】 AB=O这类已知条件是反复出现的,应该明确其引申含义:1)B 的每一列均为Ax=0的解;2)r(A)?r(B)?n.

本题涉及到对参数k及矩阵A的秩的讨论,这是考查综合思维能力的一种重要表现形

式,今后类似问题将会越来越多.

超级狩猎者

完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P.438【例4.21】, P.389【例2.36】

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