所以 Ｆ（3-2)
i+1
＝Ｆ
i
－Ｙｅ
同样，若Ｆ＜０，则向（＋Ｙ）方向进给一步，新的动点坐标值为 Ｘi+1＝Ｘi， Ｙi+1＝Ｙi+1 因此新的偏差函数为
Ｆi+1＝ＸeＹi+1－Ｘi+1Ｙe＝ＸｅＹi一ＸiＹe＋Ｘe 所以 Ｆ(3-3)
根据式（３－２）和（３一３）可以看出，采用递推算法后，偏差函数Ｆ的计算只与终点坐标值Ｘｅ，Ｙe有关，而不涉及动点坐标Ｘi，Ｙi的值，且不需要进行乘法运算，新动点的偏差函数可由上一个动点的偏差函数值递推出来（减Yｅ或加Ｘe）。因此，该算法相当简单，易于实现。但要一步步速推，且需知道开始加工点处的偏差值。一般是采用人工方法将刀具移到加工起点（对刀），这时刀具正好处于直线上，当然也就没有偏差，所以递推开始时偏差函数的初始值为Ｆ0＝０。
④终点判别 由于插补误差的影响，刀具的运动轨迹可能不通过被加工直线的终点Ｅ（Ｘｅ，Ｙe）。即在有些情况下，刀具的横坐标Ｘi与纵坐标Ｙi不可能同时满足以下两式
因此，不能用以上条件来判断直线是否加工完毕。通常根据刀具沿Ｘ、Y轴所走的总步数判断终点。
从直线的起点Ｏ（图3.6.5）移动到终点Ｅ，刀具沿Ｘ轴应走的步数为Ｘe，沿Ｙ轴应走的步数为Ｙe，沿Ｘ，Ｙ两坐标轴应走的总步数Ｎ为 Ｎ＝Ｘｅ十 Ｙｅ
刀具运动到点P（Ｘi，Yi）时，沿Ｘ，Ｙ轴已经走过的步数ｎ为
i+1
＝Ｆ
i
＋Ｘe
ｎ＝Ｘi＋Yi
若ｎ与Ｎ相等，说明直线已加工完毕，插补过程应该结束。否则，说明直线还没有加工完毕。
对于逐点比较插补法，每进行一个插补循环，刀具或者沿Ｘ轴走一步，或者沿Ｙ轴走一步，因此插补循环数与刀具沿Ｘ，Ｙ轴已走的总步数相等。这样就可以根据插补循环数ｉ与具沿Ｘ，Ｙ轴应进给的总步数Ｎ是否相等判断终点，即直线加工结束的条件为 ｉ(3-4)
＝
Ｎ
2.6 数据采样法
数据采样法实质上就是用一系列首尾相连的微小直线段来逼近给定的曲线。由于这些线段是按加工时间进行分割的，所以，也称为“时间分割法”。一般分割后得到的小线段相对于系统精度来讲仍是比较大的。为此，必须进一步进行数据的密化工作。微小直线段的分割过程也称为粗插补，而后续进一步的密化过程称为精插补。通过两者的紧密配合即可实现高性能的轮廓插补。
一般数据采样插补法中的粗插补是由软件实现的。由于其算法中涉及到一些三角函数和复杂的算术运算，所以大多采用高级计算机语言完成。而精插补算法大多采用前面介绍的脉冲增量法。它既可由软件实现，也可由硬件实现。由于相应的算术运算较简单，所以软件实现时大多采用汇编语言完成。
2.6.1 插补周期与位置控制周期
插补周期Ｔs是相邻两个微小直线段之间的插补时间间隔。位置控制周期Ｔc是数控系统中伺服位置环的采样控制周期。对于给定的某个数控系统而言，插补周期和位置控制周期是两个固定不变的时间参数。 通常Ｔs≥Ｔc，并且为了便于系统内部控制软件的处理，当Ｔs与Ｔc不相等时，一般要求Ｔs是Ｔc的整数倍。这是由于插补运算较复杂，处理时间较长，而位置环数字控制算法较简单，处理时间较短，所以每次插补运算的结果可供位置环多次使用。现假设编程进给速度为Ｆ，插补周期为Ｔs，则可求得插补分割后的微小直线段长度为ΔＬ（暂不考虑单位）： ΔＬ＝ＦＴs（３一40）
插补周期对系统稳定性没有影响，但对被加工轮廓的轨迹精度有影响，控制周期对系统稳定性和轮廓误差均有影响。因此选择Ｔs时主要从插补精度方面考虑，而选择Ｔc时则从伺服系统的稳定性和动态跟踪误差两方面考虑。
一般插补周期Ｔs越长，插补计算的误差也越大。因此单从减小插补计算误差的角度考虑，插补周期Ｔs应尽量选得小一些。但Ｔs也不能太短，因为ＣＮＣ系统在进行轮廓插补控制时，其ＣＮＣ装置中的ＣＰＵ不仅要完成插补运算，还必须处理一些其他任务（如位置误差计算、显示、监控、IＯ处理等），因此Ｔs不单是指ＣＰＵ完成插补运算所需的时间，而且还必须留出一部分时间用于执行其他相关的ＣＮＣ任务。一般要求插补周期Ｔs必须大于插补运算时间和完成其他相关任务所需时间之和。 ＣＮＣ系统位置控制周期的选择有两种形式。一种是 Ｔc＝Ｔs，另一种是Ｔｓ为Ｔc的整数倍。
2.6.2 插补周期与精度、速度之间的关系
在数据采样法直线插补过程中，由于给定的轮廓本身就是直线，则插补分割后的小直线段与给定直线是重合的，也就不存在插补误差问题。但在圆
弧插补过程中，一般采用切线、内接弦线和内外均差弦线来逼近圆弧，显然这些微小直线段不可能完全与圆弧相重合，从而造成了轮廓插补误差。插补误差er与被插补圆弧半径Ｒ、插补周期Ｔｓ以及编程进给速度Ｆ有关。若Ｔs越长，Ｆ越大，Ｒ越小，则插补误差就越大。但对于给定的某段圆弧轮廓来讲，如果将Ｔs选得尽量小，则可获得尽可能高的进给速度Ｆ，从而提高了加工效率。同样在其他条件相同的情况下，大曲率半径的轮廓曲线可获得较高的允许切削速度。 2.6.3 数据采样法直线插补
假设刀具在ＸＯＹ平面内加工直线轮廓ＯＥ，起点为Ｏ（０ ０），终点为Ｅ（Xe，Ye），动点为Ｎi－１（Ｘi－ｌ，Ｙi－ｌ），编程进给速度为Ｆ，插补周期为Ｔs，如图3.6.30所示。
在1个插补周期内进给直线长度为ΔＬ＝ＦＴs，根据图2.6.1中的几何关系，很容易求得插补周期内各坐标轴对应的位置增量为：
图2.6.1
（3－４６）
式中Ｌ为被插补直线的长度，Ｌ＝（mm）；K为每个插补周期内的进给速率数，Ｋ＝ΔＬL＝（ＦＴs）L。这样很容易得出下一个动点 Ｎi的坐标值为
?L?X?X??X?X?Xei?1ii?1??iL ?
?L?Y?Y??Y?Y?Yeii?1ii?1?L?利用数据采样法插补直线时的算法相当简单，可在ＣＮＣ装置中分两步完成。第一步是插补准备，完成一些常量的计算工作，如 Ｌ，K的计算等（一般对于每个零件轮廓段仅执行一次）；第二步是插补计算，每个插补周期均执行一次，求出该周期对应的坐标增量值（ΔＸi，ΔＹi）及动点坐标值（Ｘi，Ｙi）。
数据采样法插补过程中所使用的起点坐标、终点坐标及插补所得到的动点坐标都是带有符号的代数值，而不像脉冲增量插补算法那样使用绝对值参与插补运算。并且这些坐标值也不一定转换成以脉冲当量为单位的整数值，即数据采样法中涉及到的坐标值是带有正、负号的真实坐标值。另外，求取坐标增量值和动点坐标的算法并非唯一，例如也可利用轮廓直线与横坐标夹角α的三角函数关系来求得。
2.7 可编程控制器的设计
2.7.1 可编程序控制器的定义及作用
可编程控制器（简称PLC）是以微处理器技术为基础，综合了计算机、自动化和通信技术的一种新型工业控制装置。
可编程控制器是一种数字运算操作的电子系统，采用可编程存储器，用于其内部存储程序，执行逻辑运算、顺序控制、定时、计数和算数操作等