直角三角形斜边上中线性质的应用
直角三角形斜边上中线的性质是直角三角形的一个重要性质，同时也是常考的知识点．它为证明线段相等、角相等、线段的倍分等问题提供了很好的思路和理论依据。但在初中数学教材中它却是以矩形性质（矩形的对角线相等）的推论形式出现的，因而很容易造成学生忽视这一性质的应用．从实际教学的反馈来看确有很多学生应用它解决问题有困难．下面谈谈直角三角形斜边上中线的性质及应用．仅供参考．
一、直角三角形斜边上中线的性质
1、性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，在Rt△BAC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，则AD=
1BC。 2
2、性质的拓展：如图1：因为D为BC中点，
1BC， 21所以AD=BD=DC=BC，
2所以BD=DC=
所以∠1=∠2，∠3=∠4， 因此∠ADB=2∠3=2∠4， ∠ADC=2∠1=2∠2。
因而可得如下几个结论：①直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形；②分成的两个等腰三角形的腰相等，两个顶角互补、底角互余，并且其中一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰三角形底角的2倍．
二、性质的应用 1、求值
例1、（江苏省苏州市中考）如图2，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，若CD=4，则AB= ．
解析：由性质可知：CD=所以AB=2CD=8． 2、证明线段相等
例2、（上海市中考）如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到D点，使AD =点E、F分别为边BC、AC的中点。
1AB， 21AB，2
（1）求证：DF=BE；
（2）过点A作AG∥BC，交DF于G。求证：AG=DG。 分析：（1）因为E为BC的中点， 所以BE=
1BC。 2，
要证DF=BE，即为连AE，AE=
1BC，只需证DF=AE。 2因为EF为△ABC的中位线，
所以EF，而AD=
1AB， 2所以。
故四边形AEFD为平行四边形。
所以DF=AE，从而DF=BE这一命题得证。 （2）由性质拓展可知：∠1=∠2。 由（1）得AE∥DF，所以∠2=∠D。 因为AG∥BC，所以∠1=∠DAG，
因此∠D=∠DAG，所以DG=AG。 3、证明角相等及角的倍分关系
例3、已知，如图5，在△ABC中，∠BAC>90°，BD、CE分别为AC、AB上的高，F为BC的中点，求证：∠FED=∠FDE。
分析：因为BD、CE分别为AC、AB上的高， 所以∠BDC=∠BEC=90°。 在Rt△BDC中DF为斜边上中线， 所以
。
，
同理在Rt△BEC中，所以DF=EF， 所以∠FED=∠FDE。
例4、（上海市中考题）已知：如图6，在△ABC中，AD是高，CE是中线。DC=BE，DG⊥CE，G为垂足。
求证：（1）G是CE的中点；（2）∠B=2∠BCE。 分析：（1）E是Rt△ADB斜边上中点，连DE，则
，
所以DE=DC。
又因为DG⊥CE，所以G为CE的中点。 （2）因为DE=DC，所以∠1=∠2。 因为∠EDB=∠1+∠2，