课题：第十七讲 解直角三角形
教学目标：
1.熟记30°，45°，60°的三角函数值，在理解三角函数定义的基础上进行有关的计算和解答． 2.能够利用直角三角形的边角关系，解决测量、航行、工程技术等生活中的实际问题，提高应用知识的能力． 教学重点与难点：
重点：熟记特殊角的三角函数值，能够利用三角函数进行有关的计算和解答．
难点：能够利用直角三角形的边角关系，解决生活中的实际问题，提高应用知识的能力． 课前准备：教师准备：多媒体课件． 教学过程:
一、知识梳理，建构网络 1. 锐角三角函数：
⑴定义：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=
B ?A的对边= ；
斜边a c cosA=
?A的邻边?A的对边= ；tanA== ．
斜边?A的邻边C b A ⑵ 性质：①若∠A为锐角，则有sin(90°－A)= ，cos(90°－A)= ， sinA+cosA= ，tanA·tan(90°－A)= .
②当∠A度数在0°～90°之间变化时，正弦、正切值随着角度的增大而 ，余弦值随着角度的增大而 ．
2. 30°，45°，60°的三角函数值：
三角函数 sinα 30° 45° 60° 备注 随着角度的增大而增大 2
2
1 23 23 32 22 21 3 2cosα 1 23 随着角度的增大而减小 tanα 3. 解直角三角形：
随着角度的增大而增大 ⑴ 由直角三角形中已知的元素，求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．
⑵ 直角三角形边角关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c．
①两锐角之间的关系： ；②三边之间的关系： （勾股定理）； ③边与角之间的关系：sinA= ， cosA= ，tanA= ． 视线 4. 锐角三角函数应用中的相关概念：
⑴ 仰角、俯角：在测量时，视线与水平线所成的角中， 视线在水平线 的角叫仰角，视线在水平线 的角叫俯角． ⑵ 坡度、坡角：坡面的 与水平宽度的比叫做坡面的 坡度（或坡比）；坡面与 的夹角叫做坡角．
⑶ 方向角：如图，过观测点O作一条水平线（一般向右为东） 和一条铅垂线（向上为北），则观测点O与目的地的连线与表示南 北方向的铅垂线的夹角（小于90°）叫做方向角．
西 铅垂线 铅垂线 仰角 俯角 视线 北 目的地 水平线 O 观测点 南 水平线 东 处理方式：利用多媒体出示解直角三角形的知识点，以问题串的形式让学生回顾,如有遗忘，借用课本或同学间交流进行补充，需要教师强调的地方教师要结合具体的例子先简单分析，在后面的例题讲解中再着重强调．
设计意图：以问题串的形式让学生回顾解直角三角形的相关知识,如有遗忘，借用课本或同学间交流进行补充，为后面的题组训练打好基础，让学生掌握课堂的主动权，让学生在小组交流讨论中完成建构并从中感受到知识间的内在联系，并在数学学习活动中完成解直角三角形的知识要点复习, 为下一步激活运用这些知识打好基础． 二、专题探究，归纳整合 活动内容1：锐角三角函数的定义
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则sinA的值为（ ） A．
512125 B． C． D． 1251313O A B 2．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在 格点上，则sin∠AOB=( )． A．
1131010 B． C． D．
310102第2题图 处理方式：学生讨论交流，在复习丛书上完成后再展示说明，学生之间互相补充．教师适时点评，然后师生共同总结所考察知识点．
设计意图：通过学生自主探究、合作交流，进一步巩固锐角三角函数的定义． 活动内容2：30°，45°，60°的三角函数值 3．在△ABC中，若cosA?1?(1?tanB)2?0，则∠C的度数是（ ） 2A．45° B．60° C．75° D．105°
4．计算sin245??cos30??tan60?，其结果是 ．
处理方式：学生先讨论交流，然后找两名学生利用展台展示说明解决问题的方法，学生之间互相补充．教师适时点评，然后师生共同总结所考察知识点．
设计意图：本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，熟记30°，45°，60°的三角函数值，进而使学生由特殊三角函数值求锐角及由特殊角求三角函数值．
活动内容3：解直角三角形
5．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a ，b ，c ，且a=15，b=5， 求这个三角形的其他元素．
6．△ABC中,∠C为直角,∠A ,∠B , ∠C所对的边分别为a ，b , c ,且b=3 ,∠A=30°, 求∠B , a , c .
处理方式：学生先讨论交流，然后找两名学生到黑板板演，然后展示说明解题的思路与方法，学生之间互相补充．教师适时点评，然后师生共同总结所考察知识点．
设计意图：本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，使学生回顾解直角三角形的两种情况，理解满足什么条件能解出直角三角形，增强学生的学习兴趣及自信心． 三、典例精析，方法总结
【例1】 在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB的长．
A 30° C 45° B 处理方式：让一名学生板演，其余学生认真在丛书上解题，完成后再展示说明，学生之间互相补充．教师适时点评，及时点拨：过点C作CD⊥AB于点D，将△ABC转化为有公共直角边的两个直角三角形是此题的关键，然后利用三角函数即特殊角的三角函数值解决问题．
方法总结：解直角三角形时，除了直角外，还知道两个元素（至少有一个是边），就能求出其余的边和角．一般三角形中，知道三个元素（至少有一个是边），就能求出其余的边和角，此时应将一般三角形转化为直角三角形，同时注意尽量不要破坏所给条件，还需熟记特殊角的三角函数值．
设计意图：本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，加深对解直角三角形及特殊角的三角函数值的理解与掌握．
拓展训练：在△ABC中，∠B=45°，AC=26，AB=6．画出示意图，求BC的长(保留根号)
处理方式：学生先自主思考，然后小组内交流讨论，学生展示思路，全班同学共同反馈，教师点拨．教师点拨：已知两边及一边的对角画三角形，有两种情况，这两种情况代表了两种题型，即
BC是两条线段的和或差，过点A作AD⊥BC于点D，则BC=BD±CD．最后利用课件归纳利用解直角
三角形解决一般三角形的方法（两个基本图形的翻转、旋转及平移），关键是抓住基本图形．
A A