北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编15：均值不等式
一、选择题
xyx,y,z满足x?3xy?4y?z?0,则当z取得最大值
1 ．(2013山东高考数学(理))设正实数
22212??时,xyz的最大值为
9C．4
（ ）
A．0 B．1 D．3
【答案】B 【解析】由x2?3xy?4y2?z?0,得z?x2?3xy?4y2.所以
xyxy1x4y1?2??,当且仅当,即x?2y时取等号此时??1zx?3xy?4y2x?4y?3yxx4y2??3yxyxz?2y2,(xy2122122121)max?1. ??????(1?)?(1?) zxy2yxyz2yyxyy11?1?2y2y2?4()?1,故选
2B．
xy2 ．(2013福建高考数学(文))若2?2?1,则x?y的取值范围是
（ ）
A．[0,2] B．[?2,0] C．[?2,??) D．(??,?2]
x?y【答案】D【解析】本题考查的是均值不等式.因为1?2x?2y?22x?2y,即2?2?2,所以
x?y??2,当且仅当2x?2y,即x?y时取等号.
3 ．(2007年上海春季高考数学解析版)设a、b是正实数,以下不等式
① ab?2ab2222?2 ,② a?a?b?b,③ a?b?4ab?3b,④ ab?a?bab（ ）
恒成立的序号为
A．①、③ B．①、④ C．②、③ D．②、④ 【答案】D
4 ．(2012年高考(浙江文))若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是
A．
（ ）
24 5B．
28 5C．5 D．6
【答案】C
【解析】x+3y=5xy,
1311313x12y13??5, (3x?4y)?(?)?(?)??
5yx5yx5yx113?2?36??5. 555 ．已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7?a6?2a5,若存在两项am,an使得aman?4a1,则的最小值为 A．
14?mn（ ）
B．
3 25 3C．
9 4D．不存在
【答案】A
6 ．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）设a?0,b?0.若
113是3a与3b的等比中项，则?的最小值为
abA．8 【答案】B 二、填空题
7 ．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 ）若x?1?0，则x?【答案】 【 解析】由x?B．4
C．1
D．
（ ）
1 41的最小值为 ． x?1111?x?1??1得，因为x?1?0，所以?0，根据均值定理得x?1x?1x?1x?11112?x?1??1?2(x?1)??1?1，当且仅当x?1?，即(x?1)?1，即
x?1x?1x?1x?11的最小值为1. x?1a)x?3时取得最小值,则8 ．(2013四川高考数学(文))已知函数f(x)?4x?(x?0,a?0在
x时取等号，所以x?x?1?1,x?0a?__________. 【答案】36 解析:考查函数的单调性,简单题. 4x?a4a?4x?在4x?2a?12时取得最小值,x4x所以a=36.答案36
9．(2013陕西高考数学(文))在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部
分), 则其边长x为___(m).
x40m
【答案】20 解: 利用均值不等式解决应用问题.设矩形高为y, 由三角形相似得:
40mx40?y?,且x?0,y?0,x?40,y?40 4040?40?x?y?2xy,仅当x?y?20时，矩形的面积s?xy取最大值400.
x2?11(?x?2)的值域10．（北京市海淀区2013届高三上学期期中练习数学（理）试题）函数f(x)?x2为___________.
5[2,]2 【答案】
11．(2013天津高考数学(理))设a + b = 2, b>0, 则当a = ______时,
1|a|?取得最小值. 2|a|b【答案】?2 由a?b?2?1|a|a?b|a|b|a|aa ???????1?2|a|b4|a|b4|a|b4|a|4|a|3 4显然当a?0且b?2|a|时,上式取得最小值所以b??2a代入a?b?2?a??2 所以a??2时,
31|a|?取得最小值.
42|a|b
0?m?12．设
112??k2,若m1?2m恒成立,则k的最大值为__________.
12?【答案】【解析】由题可知k的最大值即为m1?2m的最小值.又
12221?2m2m??(?)[2m?(1?2m)]?2?2(?)?2?8,取等号的条件当且仅m1?2m2m1?2m2m1?2m当2m=1-2m,即m=
1时, 故Kmax=8. 【答案】8 4*13．（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车
投入运营，据市场分析每辆客车运营前n(n?N)年的总利润Sn（单位：万元）与n之间的关系为
Sn??(n?6)2?11.当每辆客车运营的平均利润最大时， n的值为 . 【答案】5 14．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）某种饮料分两次提价，提价方案有两种，
方案甲：第一次提价p%,第二次提价q%；方案乙：每次都提价的方案是 .
【答案】乙
解：设原价为1，则提价后的价格:方案甲：(1?p%)(1?q%),乙：(1?p?q%，若p?q?0，则提价多2p?q2%)，因为21?p%1?q%p?q??1?%，因为p?q?0，所以222p?qp?q2(1?p%)(1?q%)?1?%，即(1?p%)(1?q%)?(1?%)，所以提价多的方案是乙。
22(1?p%)(1?q%)?a2?a?1对一切正实数x成立,则a的取值范围为15．(2013上海高考数学(文))设常数a?0,若9x?x________.
【答案】[,??)
15a2a21由题知，当x?0时,f(x)?9x??29x??6a?a?1?a?
xx516．_已知x＞0,y＞0,且?212x1?4,若x?2y?m2?2m?6恒成立,则m的取值范围是___________________ y11【答案】【解析】x?y?4?2x?4y?1,x?2y?(x?2y)(2x?4y)?2?2?x?4y?1?2m2?2m?6?2?m2?2m?8?0??2?m?4.
1111yxyx??2,即 x4y17．（2013北京朝阳二模数学理科试题）某公司一年购买某种货物600吨,每次都购买x吨,运费为3万元/
次,一年的总存储费用为2x 万元,若要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则每次需购买_______吨. 【答案】30