2019-2020学年度最新数学高考（文）二轮复习专题集训：专题五 立体几何5-3-含解析 1．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，点D在棱BB1上，若BD＝3，则AD与平面AA1C1C所成角的正切值为( )
23A.
55C. 4
4B．
3239D．
13
3→→→→→→→
解析： 如图，可得AD·EB＝(AB＋BD)·EB＝AB·EB＝4×23×＝12＝5×23×cos
2→→
θ(θ为AD与EB的夹角)，
231339所以cos θ＝，sin θ＝，tan θ＝，又因为BE⊥平面AA1C1C，所以所求角的
556239正切值为. 13
答案： D
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E为AD的中点，现分别沿BE，CE将△ABE，△DCE翻折，使得点A，D重合于F，此时二面角E-BC-F的余弦值为( )
A.C.7 213 2
B．D．
7 43 4
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解析： 如图所示，取BC的中点P，连接EP，FP，由题意得BF＝CF＝2， ∴PF⊥BC，又EB＝EC，∴EP⊥BC，∴∠EPF为二面角E-BC-F的平面角，而FP＝794＋－EP＋FP－EF441?2772?FB－?2BC?＝，在△EPF中，cos∠EPF＝＝＝. 22EP·FP74
2×2×
2
2
2
2
答案： B
3．在空间直角坐标系中，以点A(4,1,9)，B(10，－1,6)，C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的直角三角形，则实数x的值为________．
→
解析： 由题意得AB＝(6，－2，－3)， →
AC＝(x－4,3，－6)，
→→AB·AC＝(6，－2，－3)·(x－4,3，－6) ＝6(x－4)－6＋18＝0， 解之得x＝2. 答案： 2
4．(2017·全国卷Ⅲ)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角； ②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角； ③直线AB与a所成角的最小值为45°； ④直线AB与a所成角的最大值为60°.
其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号)
解析： 依题意建立如图所示的空间直角坐标系．设等腰直角三角形ABC的直角边长为1.
由题意知点B在平面xOy中形成的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆．
→
设直线a的方向向量为a＝(0,1,0)，直线b的方向向量为b＝(1,0,0)，CB以Ox轴为始边沿逆时针方向旋转的旋转角为θ，θ∈[0,2π)，则B(cos θ，sin θ，0)，
→→
∴AB＝(cos θ，sin θ，－1)，|AB|＝2. 设直线AB与a所成夹角为α，
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→|AB·a|22
则cos α＝＝|sin θ|∈?0，?，
22?→?|a||AB|
∴45°≤α≤90°，∴③正确，④错误． 设直线AB与b所成夹角为β， →
|AB|·b2
则cos β＝＝|cos θ|.
2→
|b||AB|当直线AB与a的夹角为60°， 即α＝60°时，
则|sin θ|＝2cos α＝2cos 60°＝∴|cos θ|＝2
， 2
221.∴cos β＝|cos β|＝. 222
∵0°≤β≤90°，∴β＝60°，即直线AB与b的夹角为60°. ∴②正确．①错误． 答案： ②③
5．(2017·第三次调研考试)如图，四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面，点P在圆柱OQ的底面圆周上，G是DP的中点，圆柱OQ的底面圆的半径OA＝2，侧面积为83π，∠AOP＝120°.
(1)求证：AG⊥BD；
(2)求二面角P-AG-B的平面角的余弦值． 解析： 建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
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