研卷知古今；藏书教子孙。
1.2.2 函数的表示法
整体设计
教学分析
课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法:解析法,图象法,列表法.函数的不同表示方法能丰富对函数的认识,帮助理解抽象的函数概念.特别是在信息技术环境下,可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现,使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法.因此,在研究函数时,要充分发挥图象的直观作用.在研究图象时,又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性.课本将映射作为函数的一种推广,这与传统的处理方式有了逻辑顺序上的变化.这样处理,主要是想较好地衔接初中的学习,让学生将更多的精力集中理解函数的概念,同时,也体现了从特殊到一般的思维过程. 三维目标
1.了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、解析法),会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数,树立应用数形结合的思想.
2.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用,提高应用函数解决实际问题的能力,增加学习数学的兴趣.
3.会用描点法画一些简单函数的图象,培养学生应用函数的图象解决问题的能力.
4.了解映射的概念及表示方法,会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射,感受对应关系在刻画函数和映射概念中的作用,提高对数学高度抽象性和广泛应用性的进一步认识. 重点难点
教学重点:函数的三种表示方法,分段函数和映射的概念.
教学难点:分段函数的表示及其图象,映射概念的理解;运用集合两种常用表示——列举法与描述法. 课时安排 3课时
教学过程 第1课时
导入新课
思路1.语言是沟通人与人之间的联系的,同样的祝福又有着不同的表示方法.例如,简体中文中的“生日快乐！”用繁体中文为:生日快樂！英文为:Happy Birthday！法文是Bon Anniversaire！德文是Alles Gute Zum Geburtstag!西班牙中称iFeliz CumpleaRos!印度尼西亚文是Selamat Ulang Tahun！荷兰文的生日快乐为Van Harte Gefeliciteerd met jeverj aardag！在俄语中则是С днем рождения!……那么对于函数,又有什么不同的表示方法呢？引出课题:函数的表示法.
思路2.我们前面已经学习了函数的定义,函数的定义域的求法,函数值的求法,两个函数是否相同的判定方法,那么函数的表示方法常用的有哪些呢？这节课我们就来研究这个问题(板书课题). 推进新课 新知探究 提出问题
初中学过的三种表示法:解析法、图象法和列表法各是怎样表示函数的？
讨论结果：(1)解析法:用数学表达式表示两个变量之间的函数关系,这种表示方法叫做解析法,这个数学表达式叫做函数的解析式.
(2)图象法:以自变量x的取值为横坐标,对应的函数值y为纵坐标,在平面直角坐标系中描出
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各个点,这些点构成了函数的图象,这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法叫做图象法.
(3)列表法:列一个两行多列的表格,第一行是自变量的取值,第二行是对应的函数值,这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法. 应用示例
思路1
1.某种笔记本的单价是5元,买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元,试用三种表示法表示函数y=f(x).
活动：学生思考函数的表示法的规定.注意本例的设问,此处“y=f(x)”有三种含义,它可以是解析表达式,可以是图象,也可以是对应值表.本题的定义域是有限集,且仅有5个元素. 解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}, 用解析法可将函数y=f(x)表示为 y=5x,x∈{1,2,3,4,5}.
用列表法可将函数y=f(x)表示为 笔记本数x 钱数y 1 5 2 10 3 15 4 20 5 25 用图象法可将函数y=f(x)表示为图1-2-2-1.
图1-2-2-1
点评：本题主要考查函数的三种表示法.解析法的特点是:简明、全面地概括了变量间的关系;可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值,便于用解析式来研究函数的性质,还有利于我们求函数的值域;图象法的特点是:直观形象地表示自变量的变化,相应的函数值变化的趋势,有利于我们通过图象来研究函数的某些性质,图象法在生产和生活中有许多应用,如企业生产图,股市走势图等;列表法的特点是:不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值,列表法在实际生产和生活中也有广泛的应用,如银行利率表、列车时刻表等等.但是并不是所有的函数都能用解析法表示,只有函数值随自变量的变化发生有规律的变化时,这样的函数才可能有解析式,否则写不出解析式,也就不能用解析法表示.例如:张丹的年龄
*
n(n∈N)每取一个值,那么他的身高y(单位:cm)总有唯一确定的值与之对应,因此身高y是年龄n的函数y=f(n),但是这个函数的解析式不存在,函数y=f(n)不能用解析法来表示. 注意：①函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等;
②解析法:必须注明函数的定义域,否则使函数解析式有意义的自变量的取值范围是函数的定义域;
③图象法:根据实际情境来决定是否连线;
④列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征. 变式训练
1.已知函数f(x)在［-1,2］上的图象如图1-2-2-2所示,求f(x)的解析式.
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图1-2-2-2
解：观察图象,知此函数是分段函数,并且在每段上均是一次函数,利用待定系数法求出解析式为:
当-1≤x≤0时,f(x)=x+1;
?x?1,?1?x?0,x?当0 2?x,0?x?2.??22.2007山东青岛第一次调研,理13已知2f(x)+f(-x)=3x+2,则f(x)=________. 分析:由题意得??2f(x)?f(-x)?3x?2, 2f(-x)?f(x)?-3x?2,?把f(x)和f(-x)看成未知数,解方程即得. 答案：3x+ 2 3第一次 98 90 68 88.2 第二次 87 76 65 78.3 第三次 91 88 73 85.4 第四次 92 75 72 80.3 第五次 88 86 75 75.7 第六次 95 80 82 82.6 2.下表是某校高一(1)班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分表: 王伟 张城 赵磊 班平均分 请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析. 活动：学生思考做学情分析,具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？本题利用表格给出了四个函数,它们分别表示王伟、张城、赵磊的考试成绩及各次考试的班级平均分.由于表格区分三位同学的成绩高低不直观,故采用图象法来表示.做学情分析,具体要分析学习成绩是否稳定,成绩变化趋势. 解：把“成绩”y看成“测试序号”x的函数,用图象法表示函数y=f(x),如图1-2-2-3所示.