第9章《整式乘法与因式分解》考点+易错
知识梳理
重难点分类解析
考点1 运用整式乘法法则进行运算
【考点解读】要根据算式的特点确定运算顺序，并正确运用运算法则进行计算. 例1 下列式子中，与(2x?1)(x?1)?(x?x?2)的计算结果相同的是( ) A. x?2x?1 B. x?2x?3 C. x?x?3 D. x?3 分析:(2x?1)(x?1)?(x?x?2)?(2x?2x?x?1)?(x?x?2)?x?2x?1. 答案:A
【规律·技法】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关健. 例2 (1)填空:
222222222(a?b)(a?b)? ; (a?b)(a2?ab?b2)? ; (a?b)(a3?a2b?ab2?b3)? ; (2)猜想:
(a?b)(an?1?an?2b?…?abn?2?bn?1)? (其中n为正整数，且n?2) ;
(3)利用(2)猜想的结论计算:2?2?2?…?2?2?2.
分析:(1)根据平方差公式与多项式乘以多项式的运算法则运算即可;(2)根据(1)中的规律可得结果;(3)原式变形后，利用(2)得出的规律计算即可得到结果. 解答:(1) a?b a?b a?b (2)a?b
1
nn22334498732(3)令S?2?2?2?…?2?2?2，则
98732S?1?29?28?27?…?23?22?2?1
?[2?(?1)]?(29?28?27?…?23?22?2?1)?3 ?(210??1)?3
?(1024?1)?3?341，
所以S?342，
即2?2?2?…?2?2?2?342.
【规律·技法】本题考查了多项式乘以多项式的运算，弄清题中的规律是解本题的关键. 【反馈练习】
1.已知m?n?mn，则(m?1)(n?1)? .
点拨:先化简(m?1)(n?1)，再将m?n?mn整体代入计算. 2.计算:b(2a?5b)?a(3a?2b)? .
点拨:先利用乘法分配律计算，再合并同类项. 考点2 乘法公式的应用
【考点解读】正确而熟练地掌握乘法公式，在记住公式的基础上强化对公式的具体运用，并在运用公式的过程中把握公式的特点.
例3 先化简，再求值: (2x?y)?(x?y)(x?y)?5x(x?y)，其中x?5=，y??2987321. 5分析:本题主要考查了整式混合运算中的化简、求值问题，在解题时要注意先把原式进行化简，再把未知数的值代入求解.
解答:(2x?y)?(x?y)(x?y)?5x(x?y)
2?4x2?4xy?y2?x2?y2?5x2?5xy
?9xy.
当x?5=，y??11时，原式?9xy?9?5?(?)??9. 55【规律·技法】本题考查整式的混合运算——化简求值，解题的关键是明确整式混合运算的
法则.
2例4 已知x?x?5?0，则代数式(x?1)?x(x?3)?(x?2)(x?2)的值为 . 2分析:先利用乘法公式展开，再合并得到原式?x?x?3，然后利用整体代入的方法计算.
原式?x?2x?1?x?3x?x?4
2
2222 ?x?x?3.
因为x?x?5?0， 所以x?x?5，
所以原式?5?3?2. 答案:2 【规律·技法】本题考查的是整式的混合运算——化简求值，在有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似. 【反馈练习】
3.已知4x?3y，求代数式(x?2y)?(x?y)(x?y)?2y的值.
点拨:先化简，再将4x?3y代入计算.
4.先化简，再求值:(3x?2)(3x?2)?5x(x?1)?(2x?1)，其中x??.
点拨:先科用乘法公式化简，再将x??代入计算.
考点3 因式分解及其应用
【考点解读】根据所给多项式的特点确定因式分解的步骤与方法，一般来说，先提公因式，再运用公式法(平方差公式和完全平方公式)，要注意最后必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止.
例5 分解因式: (y?2x)?(x?2y).
分析:原式利用完全平方公式或平方差公式化简，合并同类项即可得到结果. 解答:解法一: (y?2x)?(x?2y)
?y?4xy?4x?(x?4xy?4y) ?3(x?y) ?3(x?y)(x?y).
解法二: (y?2x)?(x?2y)
?[(y?2x)?(x?2y)][(y?2x)?(x?2y)]
3
2222222222222222131322?(3x?3y)(x?y) ?3(x?y)(x?y).
【规律·技法】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握乘法公式是解题关键. 例6 (a?b)(a?4b)?ab分解因式的结果是 .
分析:本题无法提取公因式，也无法直接套用公式因式分解，所以考虑先化简整理后再分解因式.
(a?b)(a?4b)?ab ?a2?5ab?4b2?ab ?a2?4ab?4b2 ?(a?2b)2
答案: (a?2b)
【规律·技法】本题主要考查了多项式的乘法运算以及公式法分解因式，体现了这二者间的联系.
【反馈练习】
5. (2018·连云港)分解因式: 16?x? . 点拨:利用平方差公式进行因式分解即可.
6. (2018·成都)已知x?y?0.2，x?3y?1，则代数式x?4xy?4y的值为 . 点拨:先把原式因式分解，再将已知等式变形后代入计算求值. 7.如果x?mx?1?(x?n)，且m?0，那么n的值是 . 点拨:看清完全平方式三项的结构，注意m?0的条件，可知n也大于0. 易错题辨析
易错点1 运算中符号出错
例1 (2018·无锡月考)计算: ?3x(x?x?4). 错误解答:原式??6x?3x?12x.
错因分析:在进行单项式与多项式乘法运算时，应将单项式与多项式的每一项分别相乘，同时应注意多项式的“项”包括它前面的符号，错解忽略了第二项前面的符号. 正确解答:原式??6x?3x?12x.
易错辨析:将多项式看作几个单项式的和直接参与运算. 易错点2 漏乘了多项式中的项“1”
323222222224
例2计算: x(x?1)?3x(x?2).
12321292x?x?6x??4x2?6x. 221错因分析:单项式x与多项式x?1相乘时，漏乘了多项式中的项“1”.
212922正确解答:原式?x?x?x?6x??4x?7x.
22错误解答:原式?易错点3 运算法则理解错误
易错辨析:单项式与多项式相乘的实质是乘法分配律的运用. 例3计算: (x?5y)(x?7y). 错误解答:原式?x?35y.
错因分析:错解只把首项和首项相乘、尾项与尾项相乘，这是初学多项式乘法时最常见错误. 正确解答:原式?x?7xy?5xy?35y?x?2xy?35y. 易错辨析:进行多项式乘法运算时不要漏乘. 易错点4 运算结果没有化到最简
例4计算: x(x?3)?x(x?3)?3x(x?x?1). 错误解答:原式?x?3x?x?3x?3x?3x?3x.
错因分析:本题在运用法则运算时并没有错，问题在于其结果没有合并同类项，不是最简形式.
正确解答:原式?x?3x?x?3x?3x?3x?3x??x?6x. 易错辨析:去括号后，不要忘了合并同类项，将结果化为最简形式. 易错点5 乘法公式混淆导致计算错误 例5计算: (2x?5y).
错误解答:错解一: (2x?5y)?(2x)?(5y)?4x?25y.
222222222222222332323323235y?(5y)?2x?20xy?5y. 错解二: (2x?5y)?(2x)?2g2xg错因分析:错解一将完全平方公式与平方差公式混淆;错解二忘记了系数要平方.
222225y?(5y)?4x?20xy?25y. 正确解答: (2x?5y)?(2x)?2g2xg易错辨析:正确使用乘法公式是解题的关键.(a?b)?a?2ab?b.计算中要注意字母、系数都要平方，同时注意符号不要出错.
易错点6 运用公式计算时，没有找准“a”与“b” 例6 计算: (a?2b?3c)(a?2b?3c).
5
22222222