湖北省武汉市2019-2020学年高三数学一模考试(文科)试卷Word版含解析

则两圆心之间的距离OQ=d=.

因为两圆内切,所以圆c2的最大半径r=3﹣d=3﹣1=2 故答案为:2

三、解答题:包括必考题和选考题两部分.第17题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生任选一题作答.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.如图,在△ABC 中,点D在边 AB上,且∠BCD=β. (Ⅰ)求证:(Ⅱ)若α=

=,β=

,AB=

,求BC 的长.

=

.记∠ACD=α,

【考点】HR:余弦定理;HP:正弦定理.

【分析】(I)分别在△ACD和△BCD中使用正弦定理,根据sin∠ADC=sin∠BDC和(II)利用(I)的结论可知

,在△ABC中使用余弦定理解出BC.

得出结论.

【解答】解:(Ⅰ)在△ACD中,由正弦定理得:在△BCD中,由正弦定理得:

∵∠ADC+∠BDC=π,∴sin∠ADC=sin∠BDC,

∵(Ⅱ)∵∴

,∴

,∠ACB=α+β=.

设AC=2k,BC=3k,k>0,由余弦定理得:AB2=AC2+BC2﹣2AC?BC?cos∠ACB, 即

解得k=1,∴BC=3.

18.某气象站观测点记录的连续4天里,AQI指数M与当天的空气水平可见度y(单位cm)的情况如下表1: M y

900 0.5

700 3.5

300 6.5

100 9.5

哈尔滨市某月AQI指数频数分布如下表2:

M

(200,400]

频数 (1)设x=

3

6

(400,600] 12

(600,800] 6

(800,1000] 3

,根据表1的数据,求出y关于x的回归方程;

(参考公式:;其中,)

(2)小张开了一家洗车店,经统计,当M不高于200时,洗车店平均每天亏损约2000元;当M在200至400时,洗车店平均每天收入约4000元;当M大于400时,洗车店平均每天收入约7000元;根据表2估计小张的洗车店该月份平均每天的收入. 【考点】BK:线性回归方程.

【分析】(1)利用公式计算线性回归方程系数,即可求得线性回归方程; (2)确定每月的收入的取值及概率,从而可求分布列及数学期望. 【解答】解:(1)则

=

=

(9+7+3+1)=5,

=

(0.5+3.5+6.5+9.5)=5,

=﹣

1.05,

=5﹣(﹣1.05)×5=10.25, 故

=0.1,

(2)由表2知AQI指数不高于200的频率为AQI指数在200至400的频率为AQI指数大于400的频率为0.7. 设每月的收入为X,则X的分布列为 X

﹣2000 P

0.1

0.2

0.7

4000

7000

=0.2,

则X的数学期望为E(X)=﹣2000×0.1+4000×0.2+7000×0.7=5500, 即小张的洗车店该月份平均每天的收入为5500.

19.在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,AB=3,

,∠ABC=45°,P点在底面

ABCD内的射影E在线段AB上,且PE=2,BE=2EA,F为AD的中点,M在线段CD上,且CM=λCD. (1)当(2)当

时,证明:平面PFM⊥平面PAB;

时,求平面PAM与平面ABCD所成的二面角的正弦值及四棱锥P﹣ABCM的体积.

【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积;LY:平面与平面垂直的判定.

【分析】(1)利用余弦定理计算FM,根据勾股定理得出FM⊥DM,即FM⊥AB,结合FM⊥PE得出FM⊥平面PAB,故平面PFM⊥平面PAB;

(2)AM⊥平面PAB,故∠PAB为二面角的平面角,求出AM,代入体积公式计算即可. 【解答】解:(1)证明:当λ=又DF=

AD=

时,DM=

CD=

AB=1,

,∠ADC=∠ABC=45°,

∴FM=

∴FM2+DM2=FD2, ∴FM⊥DM.又DM∥AB, ∴FM⊥AB,

∵PE⊥平面ABCD,FM?平面ABCD, ∴PE⊥FM,PE∩AB=E,

∴FM⊥平面PAB,又FM?平面PFM, ∴平面PDM⊥平面PAB. (2)当

时,由(1)可知AM⊥平面PAB,∴AM⊥AB,AM⊥PA,

∴∠PAB为二面角P﹣AM﹣B的平面角, ∵PA==

, ∴sin∠PAB=

=

=.

在△ADM中,由余弦定理得AM=∴S梯形ABCM=(1+3)×2=4,

=1,

=2,

.20.已知直线过椭圆C:

的右焦点F2,且椭圆C的中心关于直线l的对称点在直线圆左焦点F1交椭圆C于M、N两点. (1)求椭圆C的方程; (2)设的最大值.

【考点】KL:直线与椭圆的位置关系.

(其中2c为焦距)上,直线m过椭

(O为坐标原点),当直线m绕点F1转动时,求λ

【分析】(1)当y=0,即可求得交点坐标,由原点关于l的对称点为(x,y),列方程即可求得x值,则

,即可求得a的值,则b2=a2﹣c2=2,即可求得椭圆方程;

(2)设直线m的方程,代入椭圆方程,由题意可知根据向量的数量积,即可求得λ的表达式,利用韦达定理及基本不等式的性质,即可求得λ的最大值. 【解答】解:(1)由直线即椭圆的焦点为(±2,0),

,令y=0,解得x=2,可得c=2,

设原点关于l的对称点为(x,y),则,

解得x=3,即,可得a2=6,则b2=a2﹣c2=2,

∴椭圆的方程为;

(2)由(1)椭圆的焦点为(±2,0),设直线m:x=ty﹣2,M(x1,y1),N(x2,y2),

,整理得:(3+t2)y2﹣4ty﹣2=0,

则y1+y2=,y1y2=﹣,

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