湖北省武汉市2019-2020学年高三数学一模考试(文科)试卷Word版含解析

即=

=,

=,

当且仅当则有λ的最大值为

21.(Ⅰ)证明:当x>1时,2lnx<x﹣(Ⅱ)若不等式围; (Ⅲ)求证:

【考点】R6:不等式的证明. 【分析】(Ⅰ)令函数

(x)在(1,+∞)上单调递减 ,运用单调性即可得证;

,即t=±1时,S取得最大值.

对任意的正实数t恒成立,求正实数a的取值范

,定义域是{x∈R|x>1},求出导数,判断函数f

(Ⅱ)由于t>0,a>0,故不等式可化为

(*)问题转化为(*)式对任意的正实数t恒成立,构造函数

,求出导数,对a讨论,当0<a≤2时,当

a>2时,求出单调性,判断不等式是否成立,即可得到; (

,由(Ⅱ)的结论令a=2,有

对t>0恒成立,取可得不等式

成立,变形整理即可得证.

【解答】(Ⅰ)证明:令函数

,定义域是{x∈R|x>1},

上单调递减, 故当x>1时,

(Ⅱ)解:由于t>0,a>0,故不等式

…(*)

问题转化为(*)式对任意的正实数t恒成立, 构造函数

,可知函数f(x)在(1,+∞)

,即. 可化为

则,

(1)当0<a≤2时,由t>0,a(a﹣2)≤0,则g'(t)≥0即g(t)在(0,+∞)上单调递增, 则g(t)>g(0)=0,即不等式(2)当a>2时,a(a﹣2)>0

因此t∈(0,a(a﹣2)),g'(t)<0,函数g(t)单调递减; t∈(a(a﹣2),+∞),g'(t)>0,函数g(t)单调递增, 故a﹣1>1, 令

x=a

1

1

,由a>2,即

对任意的正实数t恒成立.

,不合题意.

综上可得,正实数a的取值范围是(0,2]. (

由(Ⅱ)的结论令a=2,有取

可得不等式

成立.

成立,

对t>0恒成立,

综上,不等式

请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请在答题卡上把所选题目对应题号后的方框涂黑.

22.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ,

直线l的参数方程为(t为参数),直线l和圆C交于A、B两点.

(1)求圆心的极坐标;

(2)直线l与x轴的交点为P,求|PA|+|PB|.

【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程;QH:参数方程化成普通方程. 【分析】(1)求出圆心的直角坐标,即可求圆心的极坐标;

(2)直线l与x轴的交点为P,利用参数的几何意义,即可求|PA|+|PB|. 【解答】解:(1)由ρ=4sinθ,得ρ2=4ρsinθ,得x2+y2=4y,

故圆C的普通方程为x2+y2﹣4y=0,所以圆心坐标为(0,2),圆心的极坐标为﹣﹣﹣﹣﹣

.﹣﹣

(2)把代入x2+y2﹣4y=0得t2=4,

所以点A、B对应的参数分别为t1=2,t2=﹣2 令

得点P对应的参数为t0=﹣4

所以|PA|+|PB|=|t1﹣t0|+|t2﹣t0|=|2+4|+|﹣2+4|=6+2=8﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

23.已知函数f(x)=|3x+2|.

(1)解不等式f(x)<6﹣|x﹣2|;

(2)已知m+n=4(m,n>0),若|x﹣a|﹣f(x)≤

+

(a>0)恒成立,求函数a的取值范围.

【考点】R4:绝对值三角不等式;R5:绝对值不等式的解法. 【分析】(1)分类讨论,即可解不等式f(x)<6﹣|x﹣2|; (2)

=|x﹣a|﹣f(x),要使不等式恒成立,只需范围.

【解答】解:(1)不等式f(x)<6﹣|x﹣2|,即|3x+2|+|x﹣2|<6. 当当

时,即﹣3x﹣2﹣x+2<6,得

时,即3x+2﹣x+2<6,得

; ;

=

.令g(x)

,即可求函数a的取值

当x>2时,即3x+2+x﹣2<6,无解. 综上,原不等式的解集为(2)

=

令g(x)=|x﹣a|﹣f(x)=|x﹣a|﹣|3x+2|=

∴当时,.

,即

∴要使不等式恒成立,只需故所求实数a的取值范围是

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