考点43 随机抽样、用样本估计总体
一、选择题
1.(2019·全国卷Ⅰ文科·T6)某学校为了解1 000名新生的身体素质,将这些学生编号为1,2,…,1 000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验,若46号学生被抽到,则下面4名学生中被抽到的是 ( ) A.8号学生 B.200号学生 C.616号学生 D.815号学生 【命题意图】本题主要考查系统抽样.
【解题指南】等差数列的性质.渗透了数据分析素养.使用统计思想,逐个选项判断得出答案.
【解析】选C.由已知将1 000名学生分成100个组,每组10名学生,用系统抽样,46号学生被抽到,所以第一组抽到6号,且每组抽到的学生号构成等差数列{an},公差d=10,所以an=6+10n(n∈N*), 若8=6+10n,则n=,不合题意;若200=6+10n,则n=19.4,不合题意;
若616=6+10n,则n=61,符合题意;若815=6+10n,则n=80.9,不合题意.故选C.
2.(2019·全国卷Ⅱ理科·T5)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比,不变的数字特征是 ( ) A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差 【命题意图】考查统计中的数字特征,属于容易题.
【解析】选A.由于去掉1个最高分、1个最低分,不影响中间的数值,故中位数不变.
3.(2019·全国卷Ⅲ理科·T3同2019·全国卷Ⅲ文科·T4)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100位学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位,阅读过《红楼梦》的学生共有80位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 ( )
A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8
【命题意图】本题考查抽样、利用样本估计总体,考查考生数据的分析、运算求解能力.
【解析】选C.由题意知阅读过《红楼梦》而没有阅读过《西游记》的学生人数为80-60=20,所以阅读过《西游记》的学生人数为90-20=70,故所求的估计值为
=0.7.
二、填空题
4.(2019·全国卷Ⅱ理科·T13同2019·全国卷Ⅱ文科·T14)我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 .
【命题意图】本题主要考查频率、频数以及平均数的有关知识,容易题. 【解析】
. . .
=0.98.
答案:0.98
5.(2019·江苏高考·T5)已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是 . 【命题意图】主要考查方差,运用方差公式计算. 【解析】 =×(6+7+8+8+9+10)=8,
所以方差为×[(6-8)2+(7-8)2+0+0+(9-8)2+(10-8)2]=. 答案: 三、解答题
6.(2019·全国卷Ⅲ理科·T17同2019·全国卷Ⅲ文科·T17)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:将200只小鼠随机分成A,B两组,每组100只,其中A组小鼠给服甲离子溶液,B组小鼠给服乙离子溶液,每组小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图:
记C为事件:“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”,根据直方图得到P(C)的估计值为0.70. (1)求乙离子残留百分比直方图中a,b的值.
(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表). 【命题意图】本题考查用样本估计总体,意在考查考生频率分布直方图的运算求解能力. 【解析】(1)由已知得0.70=a+0.20+0.15,故a=0.35. b=1-0.05-0.15-0.70=0.10.
(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为
2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05. 乙离子残留百分比的平均值的估计值为
3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00.