《数字信号处理》第三版课后答案

解:

令:x(n)??(n)

h(n)?11h(n?1)??(n)??(n?1) 2211h(?1)??(0)??(?1)?12211n?1,h(1)?h(0)??(1)??(0)?122 11n?2,h(2)?h(1)?2211n?3,h(3)?h(2)?()222n?0,h(0)?归纳起来,结果为

1h(n)?()n?1u(n?1)??(n)

212. 有一连续信号xa(t)?cos(2?ft??),式中,f?20Hz,??(1)求出xa(t)的周期。

?2

%(2)用采样间隔T?0.02s对xa(t)进行采样,试写出采样信号xa(t)的表达式。 %(3)画出对应xa(t)的时域离散信号(序列) x(n)的波形,并求出x(n)的周期。

————第二章————

教材第二章习题解答

1. 设X(e)和Y(e)分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换,试求下面序列的傅里叶变换: (1)x(n?n0); (2)x(?n); (3)x(n)y(n); (4)x(2n)。 解:

(1)FT[x(n?n0)]?jwjwn????x(n?n)e0??jwn

6

''令n?n?n0,n?n?n0,则

FT[x(n?n0)]???jwn*n??????x(n')e?jw(n?n0)?e?jwn0X(ejw)

'(2)FT[x(n)]?*n?????x(n)en????[?x(n)ejwn]*?X*(e?jw)

n????jwn(3)FT[x(?n)]??x(?n)e

令n??n,则

'FT[x(?n)]?n'????x(n)e'jw?jwn'?X(e?jw)

jw(4) FT[x(n)*y(n)]?X(e)Y(e) 证明: x(n)*y(n)?m?????x(m)y(n?m)

??jwn?FT[x(n)*y(n)]?令k=n-m,则

n???m????[?x(m)y(n?m)]e??

FT[x(n)*y(n)]? ?k???m?????[?x(m)y(k)]e?jwk?m????jwk?jwnek????y(k)e?x(m)e?jwn

?X(ejw)Y(ejw)??1,w?w02. 已知X(e)??

0,w?w???0?jw求X(e)的傅里叶反变换x(n)。 解: x(n)?jw12??w0?w0ejwndw?jwsinw0n ?njwj?(w)3. 线性时不变系统的频率响应(传输函数)H(e)?H(e)e为实序列,试证明输入x(n)?Acos(w0n??)的稳态响应为

,如果单位脉冲响应h(n)y(n)?AH(ejw)cos[w0n????(w0)]。

7

解:

假设输入信号x(n)?ejw0n,系统单位脉冲相应为h(n),系统输出为

y(n)?h(n)*x(n)?m????h(m)e?jw0(n?m)?ejw0nm????h(m)e?jw0n?jw0m?H(ejw0)e上式说明,当输入信号为复指数序列时,输出序列仍是复指数序列,且频率相同,但幅度和相位决定于网络传输函数,利用该性质解此题。

x(n)?Acos(w0n??)?y(n)?1A[ejw0nej??e?jw0ne?j?]21A[ej?ejw0nH(ejw0)?e?j?e?jw0nH(e?jw0)] 21 ?A[ej?ejw0nH(ejw0)ej?(w0)?e?j?e?jw0nH(e?jw0)ej?(?w0)]2上式中H(ejw)是w的偶函数,相位函数是w的奇函数,

H(ejw)?H(e?jw),?(w)???(?w)1AH(ejw0)[ej?ejw0nej?(w0)?e?j?e?jw0ne?j?(w0)] 2 ?AH(ejw0)cos(w0n????(w0))y(n)?4. 设x(n)???1,n?0,1%(n),将x(n)以4为周期进行周期延拓,形成周期序列x画出x(n)和?0,其它%%x(n)的波形,求出x(n)的离散傅里叶级数°X(k)和傅里叶变换。

解:

%画出x(n)和x(n)的波形如题4解图所示。

?j%%%X(k)?DFS[x(n)]??x(n)en?0?jk432?kn4??en?01?jkn2??1?e?jk2?? ?e(ejk4??e?jk4?)?2cos(k)?e4??jk4?,

%X(k)以4为周期,或者

?jkn1?ee(e?e)%X(k)??e2???e?111?jk?j?kj?k?j?kn?01?e2e4(e4?e4)1??j?k1?j?k21j?k21?j?k21?j?k41sin?k2, 1sin?k4%X(k)以4为周期

8

2?%X(e)?FT[x(n)]?4jw2?%X(k)?(w?k)?4k???? ???%X(k)?(w?k)?2k???2?

??cos(k)e?4k???jw???jk4??(w??2k)jw5. 设如图所示的序列x(n)的FT用X(e)表示,不直接求出X(e),完成下列运算: (1)X(e);

?j0(2)

???X(ejw)dw;

2?(5)解:

???X(ejw)dw

(1)X(e)??j0n??3?x(n)?6

7(2)

???X(ejw)dw?x(0)?2??4?

27?(5)

???X(e)dw?2??x(n)?28?

jwn??326. 试求如下序列的傅里叶变换: (2)x2(n)?11?(n?1)??(n)??(n?1); 22n(3)x3(n)?au(n),0?a?1

解: (2)

1jw1?jw?jwnx(n)e?e?1?e?222n???

1 ?1?(ejw?e?jw)?1?cosw2X2(e)?jw?(3) X3(e)?7. 设:

(1)x(n)是实偶函数,

jwn?????au(n)en?jwn??ane?jwn?n?0?1

1?ae?jw9

(2)x(n)是实奇函数,分别分析推导以上两种假设下,x(n)的傅里叶变换性质。 解: 令 X(e)?jwn????x(n)e??jwn

(1)x(n)是实、偶函数,X(e)?两边取共轭,得到

jwn????x(n)e??jwn

X(e)?因此X(e)?X(ejw*?jw*jwn????x(n)e?jwn?n????x(n)e??j(?w)n?X(e?jw)

)

jw上式说明x(n)是实序列,X(e)具有共轭对称性质。

X(e)?jwn????x(n)e???jwn?n????x(n)[coswn?jsinwn]

?由于x(n)是偶函数,x(n)sinwn是奇函数,那么

n????x(n)sinwn?0

因此X(e)?jwn???jw?x(n)coswn

?该式说明X(e)是实函数,且是w的偶函数。

总结以上x(n)是实、偶函数时,对应的傅里叶变换X(e)是实、偶函数。 (2)x(n)是实、奇函数。

上面已推出,由于x(n)是实序列,X(e)具有共轭对称性质,即

jwjwX(ejw)?X*(e?jw)

X(e)?jwn????x(n)e??jwn?n????x(n)[coswn?jsinwn]

?x(n)coswn?0

??由于x(n)是奇函数,上式中x(n)coswn是奇函数,那么

n???因此X(e)?jjwn????x(n)sinwn

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