因此x(n)?0, 最后得到
x(n)?(0.5n?2n)u(n)
25. 已知网络的输入和单位脉冲响应分别为
x(n)?anu(n),h(n)?bnu(n),0?a?1,0?b?1，
试：
（1）用卷积法求网络输出y(n)； （2）用ZT法求网络输出y(n)。 解：
（1）用卷积法求y(n)
y(n)?h(n)?x(n)?nnm????bn?mu(m)an?mu(n?m)，n?0,
y(n)??am?0n?mm1?a?n?1bn?1an?1?bn?1b?a?ab?a?，n?0，y(n)?0 ?11?aba?bm?0n?mm最后得到
an?1?bn?1y(n)?u(n)
a?b（2）用ZT法求y(n)
X(z)?11 ,H(z)?1?az?11?bz?1Y(z)?X(z)H(z)?12?j1?1?az??1?bz??1?1c
y(n)?n?1Y(z)zdz ??令F(z)?Y(z)zn?1zn?1zn?1?? ?1?1(z?a)(z?b)1?az1?bz????n?0,c内有极点a,b
an?1bn?1an?1?bn?1y(n)?Res[F(z),a]?Res[F(z),b]???
a?bb?aa?b因为系统是因果系统，n?0,y(n)?0，最后得到
16
an?1?bn?1y(n)?u(n)
a?b28. 若序列h(n)是因果序列，其傅里叶变换的实部如下式：
HR(ejw)?jw1?acosw,a?1
1?a2?2acosw求序列h(n)及其傅里叶变换H(e)。 解：
1?acosw1?0.5a(ejw?e?jw)HR(e)??
1?a2?2acosw1?a2?a(ejw?e?jw)jw1?0.5a(z?z?1)1?0.5a(ejw?e?jw)HR(z)??
1?a2?a(z?z?1)(1?az?1)(1?az)求上式IZT，得到序列h(n)的共轭对称序列he(n)。
he(n)?12?jn?1n?1H(z)zdz ??RcF(z)?HR(z)z?0.5az2?z?0.5an?1?z ?1?a(z?a)(z?a)?1因为h(n)是因果序列，he(n)必定是双边序列，收敛域取：a?z?a。
n?1时，c内有极点a,
?0.5az2?z?0.5an?11nhe(n)?Res[F(z),a]?z(z?a)?a ?1z?a2?a(z?a)(z?a)n=0时，c内有极点a,0，
F(z)?HR(z)z所以
n?1?0.5az2?z?0.5a?1?z ?a(z?a)(z?a?1)he(n)?Res[F(z),a]?Res[F(z),0]?1
又因为
he(n)?he(?n)
所以
17
?1,n?0?he(n)??0.5an,n?0
?0.5a?n,n?0??1,n?0??he(n),n?0???h(n)??2he(n),n?0??an,n?0??anu(n)
?0,n?0?0,n?0????H(e)??ane?jwn?jwn?0?1 ?jw1?ae
3.2 教材第三章习题解答
1. 计算以下诸序列的N点DFT,在变换区间0?n?N?1内,序列定义为 （2）x(n)??(n)；
（4）x(n)?Rm(n),0?m?N； （6）x(n)?cos(2?nm),0?m?N； N（8）x(n)?sin(w0n)?RN(n)； （10）x(n)?nRN(n)。 解： （2）X(k)???(n)Wn?0N?1knN???(n)?1,k?0,1,?,N?1
n?0N?1（4）X(k)??Wn?0N?1knN1?W?1?WkmNkN?e?j?Nk(m?1)sin(?Nmk),k?0,1,?,N?1 m)sin(2??N1N?1jN(m?k)n1N?1?jN(m?k)n??e??e2n?02n?02?2?j(m?k)N?j(m?k)N??1?1?eN1?eN? ??2?2?j(m?k)?j(m?k)?2?N1?eN???1?e??1?,k?m且k?N?m??N,0?k?N?1??0,k?m或k?N?m2? 18
2?2?2?N?1?jmn?jkn1jNmn?2??knN（6）X(k)??cos?mn??WN??(e?e)eN
?N?n?0n?02N?1（8）解法1 直接计算
x8(n)?sin(w0n)RN(n)?N?1n?01jw0ne?e?jw0nRN(n) 2j??X8(k)??x(n)WknN?jkn1N?1jw0n?jw0n??e?eeN 2jn?0??2?2?2???1N?1?j（w0?N）n?j（w0?N）n?1?1?ejw0N1?ejw0N???e? ????e2?2?j(w0?k)j(w0?k)?2jn?0?2j??NN1?e?1?e?解法2 由DFT的共轭对称性求解
因为
x7(n)?ejw0nRN(n)??cos(w0n)?jsin(w0n)?RN(n)
x8(n)?sin(w0n)RN(n)?Im?x7(n)?
所以
DFT?jx8(n)??DFT?jIm?x7(n)???X70(k)
即
X8(k)??jX70(k)??j1?X7(k)?X7(N?k) 2??????1?1?ejw0N1?ejw0N1?1?ejw0N1?ejw0N?????()??()2?2?2?2?j(w?k)j(w?(N?k)j(w?k)j(w?k)2j??2j??0000NNNN1?e1?e?1?e??1?e?结果与解法1所得结果相同。此题验证了共轭对称性。
（10）解法1
knX(k)??nWNn?0N?1k?0,1,?,N?1
上式直接计算较难，可根据循环移位性质来求解X(k)。 因为 x(n)?nRN(n)
所以 x(n)?x((n?1))N?RN(n)?N?(n)?RN(n) 等式两边进行DFT得到
kX(k)?X(k)WN?N?N?(k)
19
故 X(k)?N[?(k)?1],k?1,2?,N?1 k1?WNN?1n?0当k?0时，可直接计算得出X（0）
X(0)??n?W??n?0Nn?0N?1N(N?1)
2这样，X（k）可写成如下形式：
?N(N?1),k?0?2? X(k)???N?,k?1,2?,N?1k?1?WN?解法2
k?0时，
X(k)??n?n?0N?1N(N?1) 2k?0时，
k2k3k(N?1)kX(k)?0?WN?2WN?3WN???(N?1)WNkn2k3k4k(N?1)kWNX(k)?0?WN?2WN?3WN???(N?2)WN?(N?1)
X(k)?WX(k)??WknNn?1N?1knNkn?(N?1)??WN?1?(N?1)??Nn?0N?1所以，
X(k)?即
?N,k?0 k1?WN?N(N?1),k?0?2? X(k)???N?,k?1,2?,N?1k?1?WN?2. 已知下列X(k)，求x(n)?IDFT[X(k)];
?Nj??2e,k?m??N?j?（1）X(k)??e,k?N?m;
?2?0,其它k?? 20