《数字信号处理》第三版课后答案

因此x(n)?0, 最后得到

x(n)?(0.5n?2n)u(n)

25. 已知网络的输入和单位脉冲响应分别为

x(n)?anu(n),h(n)?bnu(n),0?a?1,0?b?1,

试:

(1)用卷积法求网络输出y(n); (2)用ZT法求网络输出y(n)。 解:

(1)用卷积法求y(n)

y(n)?h(n)?x(n)?nnm????bn?mu(m)an?mu(n?m),n?0,

y(n)??am?0n?mm1?a?n?1bn?1an?1?bn?1b?a?ab?a?,n?0,y(n)?0 ?11?aba?bm?0n?mm最后得到

an?1?bn?1y(n)?u(n)

a?b(2)用ZT法求y(n)

X(z)?11 ,H(z)?1?az?11?bz?1Y(z)?X(z)H(z)?12?j1?1?az??1?bz??1?1c

y(n)?n?1Y(z)zdz ??令F(z)?Y(z)zn?1zn?1zn?1?? ?1?1(z?a)(z?b)1?az1?bz????n?0,c内有极点a,b

an?1bn?1an?1?bn?1y(n)?Res[F(z),a]?Res[F(z),b]???

a?bb?aa?b因为系统是因果系统,n?0,y(n)?0,最后得到

16

an?1?bn?1y(n)?u(n)

a?b28. 若序列h(n)是因果序列,其傅里叶变换的实部如下式:

HR(ejw)?jw1?acosw,a?1

1?a2?2acosw求序列h(n)及其傅里叶变换H(e)。 解:

1?acosw1?0.5a(ejw?e?jw)HR(e)??

1?a2?2acosw1?a2?a(ejw?e?jw)jw1?0.5a(z?z?1)1?0.5a(ejw?e?jw)HR(z)??

1?a2?a(z?z?1)(1?az?1)(1?az)求上式IZT,得到序列h(n)的共轭对称序列he(n)。

he(n)?12?jn?1n?1H(z)zdz ??RcF(z)?HR(z)z?0.5az2?z?0.5an?1?z ?1?a(z?a)(z?a)?1因为h(n)是因果序列,he(n)必定是双边序列,收敛域取:a?z?a。

n?1时,c内有极点a,

?0.5az2?z?0.5an?11nhe(n)?Res[F(z),a]?z(z?a)?a ?1z?a2?a(z?a)(z?a)n=0时,c内有极点a,0,

F(z)?HR(z)z所以

n?1?0.5az2?z?0.5a?1?z ?a(z?a)(z?a?1)he(n)?Res[F(z),a]?Res[F(z),0]?1

又因为

he(n)?he(?n)

所以

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?1,n?0?he(n)??0.5an,n?0

?0.5a?n,n?0??1,n?0??he(n),n?0???h(n)??2he(n),n?0??an,n?0??anu(n)

?0,n?0?0,n?0????H(e)??ane?jwn?jwn?0?1 ?jw1?ae

3.2 教材第三章习题解答

1. 计算以下诸序列的N点DFT,在变换区间0?n?N?1内,序列定义为 (2)x(n)??(n);

(4)x(n)?Rm(n),0?m?N; (6)x(n)?cos(2?nm),0?m?N; N(8)x(n)?sin(w0n)?RN(n); (10)x(n)?nRN(n)。 解: (2)X(k)???(n)Wn?0N?1knN???(n)?1,k?0,1,?,N?1

n?0N?1(4)X(k)??Wn?0N?1knN1?W?1?WkmNkN?e?j?Nk(m?1)sin(?Nmk),k?0,1,?,N?1 m)sin(2??N1N?1jN(m?k)n1N?1?jN(m?k)n??e??e2n?02n?02?2?j(m?k)N?j(m?k)N??1?1?eN1?eN? ??2?2?j(m?k)?j(m?k)?2?N1?eN???1?e??1?,k?m且k?N?m??N,0?k?N?1??0,k?m或k?N?m2? 18

2?2?2?N?1?jmn?jkn1jNmn?2??knN(6)X(k)??cos?mn??WN??(e?e)eN

?N?n?0n?02N?1(8)解法1 直接计算

x8(n)?sin(w0n)RN(n)?N?1n?01jw0ne?e?jw0nRN(n) 2j??X8(k)??x(n)WknN?jkn1N?1jw0n?jw0n??e?eeN 2jn?0??2?2?2???1N?1?j(w0?N)n?j(w0?N)n?1?1?ejw0N1?ejw0N???e? ????e2?2?j(w0?k)j(w0?k)?2jn?0?2j??NN1?e?1?e?解法2 由DFT的共轭对称性求解

因为

x7(n)?ejw0nRN(n)??cos(w0n)?jsin(w0n)?RN(n)

x8(n)?sin(w0n)RN(n)?Im?x7(n)?

所以

DFT?jx8(n)??DFT?jIm?x7(n)???X70(k)

X8(k)??jX70(k)??j1?X7(k)?X7(N?k) 2??????1?1?ejw0N1?ejw0N1?1?ejw0N1?ejw0N?????()??()2?2?2?2?j(w?k)j(w?(N?k)j(w?k)j(w?k)2j??2j??0000NNNN1?e1?e?1?e??1?e?结果与解法1所得结果相同。此题验证了共轭对称性。

(10)解法1

knX(k)??nWNn?0N?1k?0,1,?,N?1

上式直接计算较难,可根据循环移位性质来求解X(k)。 因为 x(n)?nRN(n)

所以 x(n)?x((n?1))N?RN(n)?N?(n)?RN(n) 等式两边进行DFT得到

kX(k)?X(k)WN?N?N?(k)

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故 X(k)?N[?(k)?1],k?1,2?,N?1 k1?WNN?1n?0当k?0时,可直接计算得出X(0)

X(0)??n?W??n?0Nn?0N?1N(N?1)

2这样,X(k)可写成如下形式:

?N(N?1),k?0?2? X(k)???N?,k?1,2?,N?1k?1?WN?解法2

k?0时,

X(k)??n?n?0N?1N(N?1) 2k?0时,

k2k3k(N?1)kX(k)?0?WN?2WN?3WN???(N?1)WNkn2k3k4k(N?1)kWNX(k)?0?WN?2WN?3WN???(N?2)WN?(N?1)

X(k)?WX(k)??WknNn?1N?1knNkn?(N?1)??WN?1?(N?1)??Nn?0N?1所以,

X(k)?即

?N,k?0 k1?WN?N(N?1),k?0?2? X(k)???N?,k?1,2?,N?1k?1?WN?2. 已知下列X(k),求x(n)?IDFT[X(k)];

?Nj??2e,k?m??N?j?(1)X(k)??e,k?N?m;

?2?0,其它k?? 20

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