《数字信号处理》第三版课后答案

画出级联型结构如题2解图(二)(b)所示●。 3. 设系统的系统函数为

4(1?z?1)(1?1.414z?1?z?2)H(z)?, ?1?1?2(1?0.5z)(1?0.9z?0.18z)试画出各种可能的级联型结构。 解:

由于系统函数的分子和分母各有两个因式,可以有两种级联型结构。

H(z)?H1(z)H2(z)

(1) H1(z)?4?1?z?1?1?0.5z?1,

1?1.414z?1?z?2H2(z)?

1?0.9z?1?0.81z?2画出级联型结构如题3解图(a)所示●。

1?1.414z?1?z?2(2) H1(z)?, ?11?0.5zH2(z)?4?1?z?1?1?0.9z?1?0.81z?2

画出级联型结构如题3解图(b)所示。

4.图中画出了四个系统,试用各子系统的单位脉冲响应分别表示各总系统的单位脉冲响应,并求其总系统函数。图d 解:

(d) h(n)?h1(n)?[h2(n)?h3(n)?h4(n)]?h5(n) ?h1(n)?h2(n)?h1(n)?h3(n)?h4(n)?h5(n)

H(z)?H1(z)H2(z)?H1(z)H3(z)H4(z)?H5(z)

5. 写出图中流图的系统函数及差分方程。图d 解:

rsin??z?1(d) H(z)?

1?rcos??z?1?rcos??z?1?r2sin2??z?2?r2cos2??z?2rsin??z?1 ? ?12?21?2rcos??z?rzy(n)?2rcos?y(n?1)?r2y(n?2)?rsin??x(n?1)

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6. 写出图中流图的系统函数。图f 解:

1?11z?22?z?142(f) H(z)? ?1?13?21?13?21?z?z1?z?z48482?8.已知FIR滤波器的单位脉冲响应为h(n)??(n)??(n?1)??(n?4),试用频率采样结构实现该滤波器。设采样点数N=5,要求画出频率采样网络结构,写出滤波器参数的计算公

式。 解:

已知频率采样结构的公式为

H(z)?(1?z式中,N=5

?N1)N?1?Wk?0N?1H(k) ?k?1NzH(k)?DFT[h(n)]??h(n)Wn?0N?1knNkn??[?(n)??(n?1)??(n?4)]WN n?04 ?1?e2?j?k5?e8?j?k5,k?0,1,2,3,4

它的频率采样结构如题8解图所示。

6.2 教材第六章习题解答

1. 设计一个巴特沃斯低通滤波器,要求通带截止频率fp?6kHz,通带最大衰减ap?3dB,阻带截止频率fs?12kHz,阻带最小衰减as?3dB。求出滤波器归一化传输函数Ha(p)以及实际的Ha(s)。 解:

(1)求阶数N。

N??0.1algksplg?sp

10p?1100.3?1ksp???0.0562 0.1as2.510?110?1?s2??12?103?sp???2 3?p2??6?10将ksp和?sp值代入N的计算公式得

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N??lg0.0562?4.15

lg2所以取N=5(实际应用中,根据具体要求,也可能取N=4,指标稍微差一点,但阶数低一阶,使系统实现电路得到简化。) (2)求归一化系统函数Ha(p),由阶数N=5直接查表得到5阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统函数Ha(p)为

Ha(p)?1p5?3.2361p4?5.2361p3?5.2361p2?3.2361p?11 22(p?0.618p?1)(p?1.618p?1)(p?1)12k?1j?(?)22N

或 Ha(p)?当然,也可以按(6.12)式计算出极点:

pk?e按(6.11)式写出Ha(p)表达式

,k?0,1,2,3,4

Ha(p)?1C(p?p)kk?04

代入pk值并进行分母展开得到与查表相同的结果。

(3)去归一化(即LP-LP频率变换),由归一化系统函数Ha(p)得到实际滤波器系统函数

Ha(s)。

3由于本题中ap?3dB,即?c??p?2??6?10rad/s,因此

Ha(s)?Ha(p)p?s ?c?c5 ?5 4233245s?3.2361?cs?5.2361?cs?5.2361?cs?3.2361?cs??c对分母因式形式,则有

Ha(s)?Ha(p)p?s ?c 28

?c5 ?2 222(s?0.6180?cs??c)(s?1.6180?cs??c)(s??c)如上结果中,?c的值未代入相乘,这样使读者能清楚地看到去归一化后,3dB截止频率对归一化系统函数的改变作用。

2. 设计一个切比雪夫低通滤波器,要求通带截止频率fp?3kHz,通带最在衰减速

ap?0.2dB,阻带截止频率fs?12kHz,阻带最小衰减as?50dB。求出归一化传输函数

Ha(p)和实际的Ha(s)。

解:

(1)确定滤波器技术指标:

ap?0.2dB,?p?2?fp?6??103rad/s

as?50dB,?s?2?fs?24??103rad/s

?p?1,?s?(2)求阶数N和?:

?s?4 ?pArch(k?1) N?Arch(?s)100.1as?1k??1456.65 0.1ap10?1?1N?为了满足指标要求,取N=4。

Arch(1456.65)?3.8659

Arch(4)??10(2)求归一化系统函数Ha(p)

0.1ap?1?0.2171

Ha(p)?1??2N?1C(p?pk)k?1N?11.7386C(p?pk)k?14

其中,极点pk由(6.2.38)式求出如下:

pk??ch(?)sin((2k?1)?(2k?1)?)?jch(?)cos(),k?1,2,3,4 2N2N29

??1111Arsh()?Arsh()?0.5580 N?40.2171p1??ch(0.5580)sin()?jch(0.5580)cos()??0.4438?j1.0715

883?3?p2??ch(0.5580)sin()?jch(0.5580)cos()??1.0715?j0.4438

885?5?p3??ch(0.5580)sin()?jch(0.5580)cos()??1.0715?j0.4438

887?7?p4??ch(0.5580)sin()?jch(0.5580)cos()??0.4438?j1.0715

88(3)将Ha(p)去归一化,求得实际滤波器系统函数Ha(s)

??Ha(s)?Ha(p)p?s

?c ??p41.7368?(s??ppk)k?14??p41.7368?(s?sk)k?14

3其中sk??ppk?6??10pk,k?1,2,3,4,因为p4?p?1,p3?p?2,所以

s4?s?1,s3?s?2。将两对共轭极点对应的因子相乘,得到分母为二阶因子的形式,其系数

全为实数。

Ha(s)?7.2687?1016(s?2Re[s1]s?s1)(s?2Re[s2]s?s2)2222

7.2687?1016?2(s?1.6731?104s?4.7791?108)(s2?4.0394?104s?4.7790?108)

4. 已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为: (1)Ha(s)?s?a; 22(s?a)?bb。式中,a,b为常数,设Ha(s)因果稳定,试采用脉冲响应不变

(s?a)2?b2(2)Ha(s)?法,分别将其转换成数字滤波器H(z)。 解:

该题所给Ha(s)正是模拟滤波器二阶基本节的两种典型形式。所以,求解该题具有代表性,

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