画出级联型结构如题2解图（二）（b）所示●。 3. 设系统的系统函数为
4(1?z?1)(1?1.414z?1?z?2)H(z)?， ?1?1?2(1?0.5z)(1?0.9z?0.18z)试画出各种可能的级联型结构。 解：
由于系统函数的分子和分母各有两个因式，可以有两种级联型结构。
H(z)?H1(z)H2(z)
（1） H1(z)?4?1?z?1?1?0.5z?1，
1?1.414z?1?z?2H2(z)?
1?0.9z?1?0.81z?2画出级联型结构如题3解图（a）所示●。
1?1.414z?1?z?2（2） H1(z)?, ?11?0.5zH2(z)?4?1?z?1?1?0.9z?1?0.81z?2
画出级联型结构如题3解图（b）所示。
4.图中画出了四个系统，试用各子系统的单位脉冲响应分别表示各总系统的单位脉冲响应，并求其总系统函数。图d 解：
(d) h(n)?h1(n)?[h2(n)?h3(n)?h4(n)]?h5(n) ?h1(n)?h2(n)?h1(n)?h3(n)?h4(n)?h5(n)
H(z)?H1(z)H2(z)?H1(z)H3(z)H4(z)?H5(z)
5. 写出图中流图的系统函数及差分方程。图d 解：
rsin??z?1(d) H(z)?
1?rcos??z?1?rcos??z?1?r2sin2??z?2?r2cos2??z?2rsin??z?1 ? ?12?21?2rcos??z?rzy(n)?2rcos?y(n?1)?r2y(n?2)?rsin??x(n?1)
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6. 写出图中流图的系统函数。图f 解：
1?11z?22?z?142(f) H(z)? ?1?13?21?13?21?z?z1?z?z48482?8．已知FIR滤波器的单位脉冲响应为h(n)??(n)??(n?1)??(n?4)，试用频率采样结构实现该滤波器。设采样点数N=5，要求画出频率采样网络结构，写出滤波器参数的计算公
式。 解：
已知频率采样结构的公式为
H(z)?(1?z式中，N=5
?N1)N?1?Wk?0N?1H(k) ?k?1NzH(k)?DFT[h(n)]??h(n)Wn?0N?1knNkn??[?(n)??(n?1)??(n?4)]WN n?04 ?1?e2?j?k5?e8?j?k5,k?0,1,2,3,4
它的频率采样结构如题8解图所示。
6.2 教材第六章习题解答
1. 设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求通带截止频率fp?6kHz，通带最大衰减ap?3dB，阻带截止频率fs?12kHz，阻带最小衰减as?3dB。求出滤波器归一化传输函数Ha(p)以及实际的Ha(s)。 解：
（1）求阶数N。
N??0.1algksplg?sp
10p?1100.3?1ksp???0.0562 0.1as2.510?110?1?s2??12?103?sp???2 3?p2??6?10将ksp和?sp值代入N的计算公式得
27
N??lg0.0562?4.15
lg2所以取N=5（实际应用中，根据具体要求，也可能取N=4，指标稍微差一点，但阶数低一阶，使系统实现电路得到简化。） （2）求归一化系统函数Ha(p)，由阶数N=5直接查表得到5阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统函数Ha(p)为
Ha(p)?1p5?3.2361p4?5.2361p3?5.2361p2?3.2361p?11 22(p?0.618p?1)(p?1.618p?1)(p?1)12k?1j?(?)22N
或 Ha(p)?当然，也可以按（6.12）式计算出极点:
pk?e按（6.11）式写出Ha(p)表达式
,k?0,1,2,3,4
Ha(p)?1C(p?p)kk?04
代入pk值并进行分母展开得到与查表相同的结果。
（3）去归一化（即LP-LP频率变换），由归一化系统函数Ha(p)得到实际滤波器系统函数
Ha(s)。
3由于本题中ap?3dB，即?c??p?2??6?10rad/s，因此
Ha(s)?Ha(p)p?s ?c?c5 ?5 4233245s?3.2361?cs?5.2361?cs?5.2361?cs?3.2361?cs??c对分母因式形式，则有
Ha(s)?Ha(p)p?s ?c 28
?c5 ?2 222(s?0.6180?cs??c)(s?1.6180?cs??c)(s??c)如上结果中，?c的值未代入相乘，这样使读者能清楚地看到去归一化后，3dB截止频率对归一化系统函数的改变作用。
2. 设计一个切比雪夫低通滤波器，要求通带截止频率fp?3kHz，通带最在衰减速
ap?0.2dB，阻带截止频率fs?12kHz，阻带最小衰减as?50dB。求出归一化传输函数
Ha(p)和实际的Ha(s)。
解：
（1）确定滤波器技术指标：
ap?0.2dB，?p?2?fp?6??103rad/s
as?50dB,?s?2?fs?24??103rad/s
?p?1,?s?（2）求阶数N和?：
?s?4 ?pArch(k?1) N?Arch(?s)100.1as?1k??1456.65 0.1ap10?1?1N?为了满足指标要求，取N=4。
Arch(1456.65)?3.8659
Arch(4)??10（2）求归一化系统函数Ha(p)
0.1ap?1?0.2171
Ha(p)?1??2N?1C(p?pk)k?1N?11.7386C(p?pk)k?14
其中，极点pk由(6.2.38)式求出如下：
pk??ch(?)sin((2k?1)?(2k?1)?)?jch(?)cos(),k?1,2,3,4 2N2N29
??1111Arsh()?Arsh()?0.5580 N?40.2171p1??ch(0.5580)sin()?jch(0.5580)cos()??0.4438?j1.0715
883?3?p2??ch(0.5580)sin()?jch(0.5580)cos()??1.0715?j0.4438
885?5?p3??ch(0.5580)sin()?jch(0.5580)cos()??1.0715?j0.4438
887?7?p4??ch(0.5580)sin()?jch(0.5580)cos()??0.4438?j1.0715
88（3）将Ha(p)去归一化，求得实际滤波器系统函数Ha(s)
??Ha(s)?Ha(p)p?s
?c ??p41.7368?(s??ppk)k?14??p41.7368?(s?sk)k?14
3其中sk??ppk?6??10pk,k?1,2,3,4，因为p4?p?1,p3?p?2，所以
s4?s?1,s3?s?2。将两对共轭极点对应的因子相乘，得到分母为二阶因子的形式，其系数
全为实数。
Ha(s)?7.2687?1016(s?2Re[s1]s?s1)(s?2Re[s2]s?s2)2222
7.2687?1016?2(s?1.6731?104s?4.7791?108)(s2?4.0394?104s?4.7790?108)
4. 已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为： (1)Ha(s)?s?a； 22(s?a)?bb。式中，a,b为常数，设Ha(s)因果稳定，试采用脉冲响应不变
(s?a)2?b2(2)Ha(s)?法，分别将其转换成数字滤波器H(z)。 解：
该题所给Ha(s)正是模拟滤波器二阶基本节的两种典型形式。所以，求解该题具有代表性，
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