解该题的过程,就是导出这两种典型形式的Ha(s)的脉冲响应不变法转换公式,设采样周期为T。 (1)Ha(s)?s?a
(s?a)2?b2Ha(s)的极点为:
s1??a?jb,s2??a?jb
将Ha(s)部分分式展开(用待定系数法):
Ha(s)?A1A2s?a?? 22(s?a)?bs?s1s?s2?A1(s?s2)?A2(s?s1)(A1?A2)s?A1s2?A2s1?
(s?a)2?b2(s?a)2?b2比较分子各项系数可知:
A、B应满足方程:
?A1?A2?1 ???A1s2?A2s1?a解之得
11A1?,A2?
22所以
H(z)??Ak0.50.5??skT?1z1?e(?a?jb)Tz?11?e(?a?jb)Tz?1k?11?e21122Ha(s)?? s?(?a?jb)s?(?a?jb)H(z)??Ak0.50.5?? skT?1(?a?jb)T?1(?a?jb)T?1z1?ez1?ezk?11?e2按照题目要求,上面的H(z)表达式就可作为该题的答案。但在工程实际中,一般用无复数乘法器的二阶基本结构实现。由于两个极点共轭对称,所以将H(z)的两项通分并化简整理,可得
1?z?1e?aTcos(bT)H(z)? ?aT?1?2aT?21?2ecos(bT)z?ez
31
用脉冲响应不变法转换成数字滤波器时,直接套用上面的公式即可,且对应结构图中无复数乘法器,便于工程实际中实现。 (2) Ha(s)?b
(s?a)2?b2Ha(s)的极点为:
s1??a?jb,s2??a?jb
将Ha(s)部分分式展开:
11j?j22Ha(s)?? s?(?a?jb)s?(?a?jb)H(z)?通分并化简整理得
0.5j1?e(?a?jb)Tz??1?0.5j (?a?jb)T?11?ezz?1e?aTsin(bT)H(z)?
1?2e?aTcos(bT)z?1?e?2aTz?25. 已知模拟滤波器的传输函数为: (1)Ha(s)?1;
s2?s?1(2)Ha(s)?1试用脉冲响应不变法和双线性变换法分别将其转换为数字滤波22s?3s?1器,设T=2s。 解:
(1)用脉冲响应不变法
①Ha(s)?1 2s?s?1方法1 直接按脉冲响应不变法设计公式,Ha(s)的极点为:
s1??0.5?j33,s2??0.5?j
22?jHa(s)?333)2j?333)2
s?(?0.5?js?(?0.5?j 32
?jH(z)?1?e代入T=2s
33z?1j?1?e33z?13(?0.5?j)T23(?0.5?j)T2
?jH(z)?1?e33zj?1?e33z(?1?j3)?1(?1?j3)?1
23z?1e?1sin3 ???1?1?2?231?2zecos3?ez方法2 直接套用4题(2)所得公式,为了套用公式,先对Ha(s)的分母配方,将Ha(s)化成4题中的标准形式:
Ha(s)?由于
b?c,c为一常数,
(s?a)2?b21313s2?s?1?(s?)2??(s?)2?()2
2422所以
Ha(s)?1s?s2?s?13/213(s?)2?()222?23 3对比可知,a?13,b?,套用公式得 2223z?1e?aTsin(bT) H(z)???aT?1?2aT?231?2ecos(bT)z?ezT=223z?1e?1sin3 ??31?2z?1e?1cos3?e?2z?2② Ha(s)?11-1=+ 22s?3s?1s+0.5s+1H(z)= =或通分合并两项得