2．1 平面向量的实际背景及基本概念
向量的物理背景及概念 [提出问题]
(1)民航每天都有从北京飞往上海、广州、重庆、哈尔滨等地的航班．每次飞行都是民航客机的一次位移．由于飞行的距离和方向各不相同，因此，它们是不同的位移．
(2)汽车向东北方向行驶了60 km，行驶速度的大小为120 km/h，方向是东北． (3)起重机吊装物体时，物体既受到竖直向下的重力作用，同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用．
问题1：上述三个实例中涉及哪些物理量？ 提示：分别涉及位移、速度和力．
问题2：这些量与我们日常生活中的面积、质量等有什么区别？
提示：面积、质量等只有大小没有方向，而位移、速度和力既有大小又有方向． [导入新知] 向量和数量
(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量． (2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量． [化解疑难]
理解向量的概念应关注三点
(1)本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．
(2)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．
(3)向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．
向量的几何表示 [提出问题]
问题1：在学习三角函数线时，我们学习了有向线段，试想：有向线段应包含什么要素？ 提示：起点、方向、长度．
问题2：对既有大小又有方向的量，如何形象、直观地表示出来？ 提示：利用有向线段表示． 问题3：如何表示向量？
提示：有向线段的方向表示向量的方向，长度表示向量的大小． [导入新知]
1．有向线段
(1)有向线段是带有方向的线段，如图所示，通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点、B为终点的有向线段记作
uuurAB .
(2)有向线段包含三个要素：起点、方向、长度，知道了有向线段的起点、长度和方向，它的终点就唯一确定．
2．向量的表示
(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向． →→→
(2)字母表示：通常在印刷时用黑体小写字母a，b，c，…表示向量，书写时用a，b，c，…
ruuuruuu表示向量；也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如AB，CD.
[化解疑难]
向量与有向线段的区别和联系
(1)区别：从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由平移的．
(2)联系：向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段．
向量的有关概念 [导入新知]
1．向量的模及两个特殊向量 (1)向量的长度(模)：
uuuruuuruuur向量AB的大小，也就是向量AB的长度(或模)，记作|AB|.
(2)两个特殊向量：
①零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0，零向量的方向是任意的；零向量的起点与终点是同一点，故不能用有向线段表示出来．
②单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量． 2．相等向量与共线向量
(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，向量a与b相等，记作a＝b.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．因为向量完全是由它的方向和模确定的．
(2)平行向量：
①定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a与b平行，通常记作a∥b. ②规定：零向量与任一向量平行，即对于任意的向量a，都有0∥a.
③共线向量：任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向
量．
[化解疑难]
平行(共线)向量的含义
(1)平行向量与共线向量是同一概念的不同名称．根据定义可知，平行(共线)向量所在的直线可以平行，也可以重合．
(2)共线向量所在的直线可以平行，与平面几何中的“共线”含义不同．
(3)平行向量可以在同一条直线上，与平面几何中“直线平行”不同，平面中两直线平行是指两直线没有公共点．
向量的有关概念
[例1] 下列说法正确的是( )
ruuuruuuA．向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，D必在同一直线上
B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反
uuuruuurC．向量AB与向量BA是两平行向量
D．单位向量都相等 [答案] C [类题通法]
解决与向量概念有关问题的方法
解决与向量概念有关问题的关键是突出向量的核心——方向和长度，如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任一向量共线．只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题．
[活学活用]
下列说法正确的序号有________．
uuuruuur①若向量a＝AB，b＝BA，则|a|＝|b|；
②若a是单位向量，b也是单位向量，则a与b的方向相同或相反；
uuuruuur③若向量AB是单位向量，则BA也是单位向量；
④以坐标平面上的定点A为起点，所有单位向量的终点P的集合是以A为圆心的单位圆． 答案：①③④
向量的表示 [例2] (1)如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，可以写出________个向量．
(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
uuuruuur①OA，使|OA|＝42，点A在点O北偏东45°； uuuruuur②AB，使|AB|＝4，点B在点A正东； uuuruuur③BC，使|BC|＝6，点C在点B北偏东30°.
[解] (1)12
(2)①由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向
uuur小方格数相等．又因为|OA|＝42，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵
uuur向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量OA如图所示．
uuur②由于点B在点A正东方向处，且|AB|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格
uuur数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量AB如图所示．
uuur③由于点C在点B北偏东30°处，且|BC|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距
uuur点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量BC如图所示．
[类题通法]
用有向线段表示向量的方法
用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的