2020届高三数学一轮复习 第八章平面解析几何测试题 新人教版 精品

?CD=

|4+2a|

2得?a+1

?CD2

+DA2

=AC2=22

??DA=12AB=2.

解得a=-7,或a=-1.

故所求直线方程为7x-y+14=0或x-y+2=0.

18.(本小题满分12分)过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2,若l1

x轴于A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.

解:法一:设点M的坐标为(x,y), ∵M为线段AB的中点,

∴A的坐标为(2x,0),B的坐标为(0,2y). ∵l1⊥l2,且l1、l2过点P(2,4), ∴PA⊥PB,kPA·kPB=-1.

而k4-04-2yPA=2-2x,kPB=2-0,(x≠1),

21-x·2-y1

=-1(x≠1). 整理,得x+2y-5=0(x≠1).

∵当x=1时,A、B的坐标分别为(2,0),(0,4), ∴线段AB的中点坐标是(1,2),它满足方程

x+2y-5=0.

综上所述,点M的轨迹方程是x+2y-5=0.

法二:设M的坐标为(x,y),则A、B两点的坐标分别是(2x,0),(0,2y),连结PM, ∵l1⊥l2,∴2|PM|=|AB|. 而|PM|=(x?2)2?(y?4)2, |AB|=(2x)2?(2y)2, ∴2(x?2)2?(y?4)2?4x2?4y2. 化简,得x+2y-5=0即为所求的轨迹方程. 法三:设M的坐标为(x,y),

由l1⊥l2,BO⊥OA,知O、A、P、B四点共圆, ∴|MO|=|MP|,即点M是线段OP的垂直平分线上的点. ∵k4?0OP=

2?0=2,线段OP的中点为(1,2), 交

∴y-2=-

1 (x-1), 2即x+2y-5=0即为所求.

19.(本小题满分12分)(2020·南通模拟)已知动圆过定点F(0,2),且与定直线L:y=-2相切.

(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;

(2)若AB是轨迹C的动弦,且AB过F(0,2),分别以A、B为切点作轨迹C的切线,设两切线交点为Q,证明:AQ⊥BQ.

解:(1)依题意,圆心的轨迹是以F(0,2)为焦点,L:y=-2为准线的抛物线. 因为抛物线焦点到准线距离等于4, 所以圆心的轨迹是x=8y.

(2)证明:因为直线AB与x轴不垂直, 设AB:y=kx+2.

2

A(x1,y1),B(x2,y2). y=kx+2,??

由?12

y=x,??8

2

可得x-8kx-16=0,x1+x2=8k,x1x2=-16. 121抛物线方程为y=x,求导得y′=x.

84

11111

所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是k1=x1,k2=x2,k1k2=x1·x2=x1·x2=-1.

444416所以AQ⊥BQ.

20.[理](本小题满分12分)给定抛物线C:y=4x,F是C的焦点,过点F的直线l与C相交于A,

2

B两点,记O为坐标原点.

uuuruuur(1)求OA·OB的值;

uuuruuur(2)设AF=λFB,当△OAB的面积S∈[2,5 ]时,求λ的取值范围.

解:(1)根据抛物线的方程可得焦点F(1,0), 设直线l的方程为x=my+1,

将其与C的方程联立,消去x可得y-4my-4=0. 设A,B点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(y1>0>y2), 则y1y2=-4.

因为y1=4x1,y2=4x2, 122

所以x1x2=y1y2=1,

16

2

2

2

uuuruuur故OA·OB=x1x2+y1y2=-3.

uuuruuur(2)因为AF=λFB,

所以(1-x1,-y1)=λ(x2-1,y2),

??1-x1=λx2-λ, ①即???-y1=λy2, ②

又y1=4x1, ③

2

y22=4x2, ④

12

由②③④消去y1,y2后,得到x1=λx2,将其代入①,注意到λ>0,解得x2=.从而可得y2

λ=-

2

λ,y1=2λ,

11

故△OAB的面积S=|OF|·|y1-y2|=λ+,

2λ因λ+

1

λ≥2恒成立,所以只要解λ+

1

λ≤5即可,

3-53+5

解之得≤λ≤.

22

2022222222

20.[文](本小题满分12分)已知圆(x-2)+(y-1)=,椭圆bx+ay=ab(a>b>0)的离心率

3为

2

,若圆与椭圆相交于A、B,且线段AB是圆的直径,求椭圆的方程. 2

c解:∵e==aa2-b2222

=,∴a=2b. 2

a2

2

2

2

因此,所求椭圆的方程为x+2y=2b,

又∵AB为直径,(2,1)为圆心,即(2,1)是线段AB的中点, 设A(2-m,1-n),B(2+m,1+n),则

??(2+m)+2(1+n)=2b,

?20|AB|=2 ??3

2

2

2

(2-m)+2(1-n)=2b,

222

2

??8m+8n=0,

????2m+n=2

2

2

8+2m+4+4n=4b,

222

20

3

2b=6+m+2n,??

??2210

m=n=,?3?

222

2

得2b=16.

故所求椭圆的方程为x+2y=16.

2

uuuruuur21.(本小题满分12分)已知A、B、D三点不在一条直线上,且A(-2,0),B(2,0),|AD|=2,AEruuur1uuu=(AB+AD).

2

(1)求E点的轨迹方程;

4

(2)过A作直线交以A、B为焦点的椭圆于M,N两点,线段MN的中点到y轴的距离为,且直线5

MN与E点的轨迹相切,求椭圆的方程.

uuur1uuuruuur解:(1)设E(x,y),由AE=(AB+AD),可知E为线段BD的中点,

2

又因为坐标原点O为线段AB的中点, 所以OE是△ABD的中位线,

uuurr1uuu所以|OE|=|AD|=1,

2

所以E点在以O为圆心,1为半径的圆上, 又因为A,B,D三点不在一条直线上, 所以E点不能在x轴上,

所以E点的轨迹方程是x+y=1(y≠0).

2

2

x2y2

(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),中点为(x0,y0),椭圆的方程为2+2=1,直线MN的方程为yaa-4

=k(x+2)(当直线斜率不存在时不成立), 由于直线MN与圆x+y=1(y≠0)相切, 所以

|2k|

3

=1,解得k=±,

3k2+1

3

(x+2), 3

2

2

2

2

所以直线MN的方程为y=±

3xy将直线y=±(x+2)代入方程2+2=1,

3aa-4整理可得:4(a-3)x+4ax+16a-3a=0,

2

2

2

2

4

a2

所以x0==-2. 22(a-3)

x1+x2

4

又线段MN的中点到y轴的距离为,

5

a24

即x0=-2=-,解得a=22.

2(a-3)5

故所求的椭圆方程为+=1.

84

22.[理](本小题满分14分)(2020·东北四市模拟)已知O为坐标原点,点A、B分别在x轴,y轴

x2y2

uuur3uuur上运动,且|AB|=8,动点P满足AP=PB,设点P的轨迹为曲线C,定点为M(4,0),直线

5

PM交曲线C于另外一点Q.

(1)求曲线C的方程; (2)求△OPQ面积的最大值.

解:(1)设A(a,0),B(0,b),P(x,y),

uuuruuur则AP=(x-a,y),PB=(-x,b-y),

3

x-a=-x,?uuur3uuur?5

∵AP=PB,∴?53

y=??5(b-y).

22

88

∴a=x,b=y.

53

又|AB|=a+b=8,∴+=1.

259∴曲线C的方程为+=1.

259

(2)由(1)可知,M(4,0)为椭圆+=1的右焦点,

259设直线PM方程为x=my+4,

x2y2

x2y2

x2y2

xy??+=1,由?259??x=my+4,

2

2

22

消去x得

(9m+25)y+72my-81=0,

(72m)+4×(9m+25)×81∴|yP-yQ|= 2

9m+2590m+1=2. 9m+25

190m+1

∴S△OPQ=|OM||yP-yQ|=2×2

29m+2520m+120m+120

===

251616222

m+m+1+m+1+2999m+12015

≤=, 823

162

当m+1=, 29m+1即m=±715

时,△OPQ的面积取得最大值为,此时直线方程为3x±7y-12=0. 32

2

2

2

2

2

2

2

2

[文](本小题满分14分)设椭圆ax+by=1与直线x+y-1=0相交于A、B两点,点C是AB的

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