?CD＝
|4＋2a|
2得?a＋1
，
?CD2
＋DA2
＝AC2＝22
，
??DA＝12AB＝2.
解得a＝－7，或a＝－1.
故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.
18．(本小题满分12分)过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1
x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．
解：法一：设点M的坐标为(x，y)， ∵M为线段AB的中点，
∴A的坐标为(2x,0)，B的坐标为(0,2y)． ∵l1⊥l2，且l1、l2过点P(2,4)， ∴PA⊥PB，kPA·kPB＝－1.
而k4－04－2yPA＝2－2x，kPB＝2－0，(x≠1)，
∴
21－x·2－y1
＝－1(x≠1)． 整理，得x＋2y－5＝0(x≠1)．
∵当x＝1时，A、B的坐标分别为(2,0)，(0,4)， ∴线段AB的中点坐标是(1,2)，它满足方程
x＋2y－5＝0.
综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0.
法二：设M的坐标为(x，y)，则A、B两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y)，连结PM， ∵l1⊥l2，∴2|PM|=|AB|. 而|PM|=(x?2)2?(y?4)2， |AB|=(2x)2?(2y)2, ∴2(x?2)2?(y?4)2?4x2?4y2. 化简，得x+2y-5=0即为所求的轨迹方程． 法三：设M的坐标为(x，y)，
由l1⊥l2，BO⊥OA，知O、A、P、B四点共圆， ∴|MO|=|MP|，即点M是线段OP的垂直平分线上的点． ∵k4?0OP=
2?0=2，线段OP的中点为(1,2)， 交
∴y-2=-
1 (x-1)， 2即x+2y-5=0即为所求．
19．(本小题满分12分)(2020·南通模拟)已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线L：y＝－2相切．
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；
(2)若AB是轨迹C的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：AQ⊥BQ.
解：(1)依题意，圆心的轨迹是以F(0,2)为焦点，L：y＝－2为准线的抛物线． 因为抛物线焦点到准线距离等于4， 所以圆心的轨迹是x＝8y.
(2)证明：因为直线AB与x轴不垂直， 设AB：y＝kx＋2.
2
A(x1，y1)，B(x2，y2)． y＝kx＋2，??
由?12
y＝x，??8
2
可得x－8kx－16＝0，x1＋x2＝8k，x1x2＝－16. 121抛物线方程为y＝x，求导得y′＝x.
84
11111
所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是k1＝x1，k2＝x2，k1k2＝x1·x2＝x1·x2＝－1.
444416所以AQ⊥BQ.
20．[理](本小题满分12分)给定抛物线C：y＝4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A，
2
B两点，记O为坐标原点．
uuuruuur(1)求OA·OB的值；
uuuruuur(2)设AF＝λFB，当△OAB的面积S∈[2，5 ]时，求λ的取值范围．
解：(1)根据抛物线的方程可得焦点F(1,0)， 设直线l的方程为x＝my＋1，
将其与C的方程联立，消去x可得y－4my－4＝0. 设A，B点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(y1>0>y2)， 则y1y2＝－4.
因为y1＝4x1，y2＝4x2， 122
所以x1x2＝y1y2＝1，
16
2
2
2
uuuruuur故OA·OB＝x1x2＋y1y2＝－3.
uuuruuur(2)因为AF＝λFB，
所以(1－x1，－y1)＝λ(x2－1，y2)，
??1－x1＝λx2－λ， ①即???－y1＝λy2， ②
又y1＝4x1， ③
2
y22＝4x2， ④
12
由②③④消去y1，y2后，得到x1＝λx2，将其代入①，注意到λ>0，解得x2＝.从而可得y2
λ＝－
2
λ，y1＝2λ，
11
故△OAB的面积S＝|OF|·|y1－y2|＝λ＋，
2λ因λ＋
1
λ≥2恒成立，所以只要解λ＋
1
λ≤5即可，
3－53＋5
解之得≤λ≤.
22
2022222222
20．[文](本小题满分12分)已知圆(x－2)＋(y－1)＝，椭圆bx＋ay＝ab(a>b>0)的离心率
3为
2
，若圆与椭圆相交于A、B，且线段AB是圆的直径，求椭圆的方程． 2
c解：∵e＝＝aa2－b2222
＝，∴a＝2b. 2
a2
2
2
2
因此，所求椭圆的方程为x＋2y＝2b，
又∵AB为直径，(2,1)为圆心，即(2,1)是线段AB的中点， 设A(2－m,1－n)，B(2＋m,1＋n)，则
??(2＋m)＋2(1＋n)＝2b，
?20|AB|＝2 ??3
2
2
2
(2－m)＋2(1－n)＝2b，
222
2
??8m＋8n＝0，
????2m＋n＝2
2
2
8＋2m＋4＋4n＝4b，
222
20
3
2b＝6＋m＋2n，??
??2210
m＝n＝，?3?
222
2
得2b＝16.
故所求椭圆的方程为x＋2y＝16.
2
uuuruuur21．(本小题满分12分)已知A、B、D三点不在一条直线上，且A(－2,0)，B(2,0)，|AD|＝2，AEruuur1uuu＝(AB＋AD)．
2
(1)求E点的轨迹方程；
4
(2)过A作直线交以A、B为焦点的椭圆于M，N两点，线段MN的中点到y轴的距离为，且直线5
MN与E点的轨迹相切，求椭圆的方程．
uuur1uuuruuur解：(1)设E(x，y)，由AE＝(AB＋AD)，可知E为线段BD的中点，
2
又因为坐标原点O为线段AB的中点， 所以OE是△ABD的中位线，
uuurr1uuu所以|OE|＝|AD|＝1，
2
所以E点在以O为圆心，1为半径的圆上， 又因为A，B，D三点不在一条直线上， 所以E点不能在x轴上，
所以E点的轨迹方程是x＋y＝1(y≠0)．
2
2
x2y2
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，中点为(x0，y0)，椭圆的方程为2＋2＝1，直线MN的方程为yaa－4
＝k(x＋2)(当直线斜率不存在时不成立)， 由于直线MN与圆x＋y＝1(y≠0)相切， 所以
|2k|
3
＝1，解得k＝±，
3k2＋1
3
(x＋2)， 3
2
2
2
2
所以直线MN的方程为y＝±
3xy将直线y＝±(x＋2)代入方程2＋2＝1，
3aa－4整理可得：4(a－3)x＋4ax＋16a－3a＝0，
2
2
2
2
4
a2
所以x0＝＝－2. 22(a－3)
x1＋x2
4
又线段MN的中点到y轴的距离为，
5
a24
即x0＝－2＝－，解得a＝22.
2(a－3)5
故所求的椭圆方程为＋＝1.
84
22．[理](本小题满分14分)(2020·东北四市模拟)已知O为坐标原点，点A、B分别在x轴，y轴
x2y2
uuur3uuur上运动，且|AB|＝8，动点P满足AP＝PB，设点P的轨迹为曲线C，定点为M(4,0)，直线
5
PM交曲线C于另外一点Q.
(1)求曲线C的方程； (2)求△OPQ面积的最大值．
解：(1)设A(a,0)，B(0，b)，P(x，y)，
uuuruuur则AP＝(x－a，y)，PB＝(－x，b－y)，
3
x－a＝－x，?uuur3uuur?5
∵AP＝PB，∴?53
y＝??5(b－y).
22
88
∴a＝x，b＝y.
53
又|AB|＝a＋b＝8，∴＋＝1.
259∴曲线C的方程为＋＝1.
259
(2)由(1)可知，M(4,0)为椭圆＋＝1的右焦点，
259设直线PM方程为x＝my＋4，
x2y2
x2y2
x2y2
xy??＋＝1，由?259??x＝my＋4，
2
2
22
消去x得
(9m＋25)y＋72my－81＝0，
(72m)＋4×(9m＋25)×81∴|yP－yQ|＝ 2
9m＋2590m＋1＝2. 9m＋25
190m＋1
∴S△OPQ＝|OM||yP－yQ|＝2×2
29m＋2520m＋120m＋120
＝＝＝
251616222
m＋m＋1＋m＋1＋2999m＋12015
≤＝， 823
162
当m＋1＝， 29m＋1即m＝±715
时，△OPQ的面积取得最大值为，此时直线方程为3x±7y－12＝0. 32
2
2
2
2
2
2
2
2
[文](本小题满分14分)设椭圆ax＋by＝1与直线x＋y－1＝0相交于A、B两点，点C是AB的