习题7-1
1? 设u?a?b?2c? v??a?3b?c? 试用a、b、c表示2u?3v ? 解 2u?3v ?2(a?b?2c)?3(?a?3b?c) ?2a?2b?4c?3a?9b?3c ?5a?11b?7c?
2? 如果平面上一个四边形的对角线互相平分? 试用向量证明这是平行四边形?
证 AB?OB?OA? DC?OC?OD? 而 OC??OA? OD??OB? 所以 DC??OA?OB?OB?OA??AB?
这说明四边形ABCD的对边AB?CD且AB//CD? 从而四边形ABCD是平行四边形?
3? 把?ABC的BC边五等分? 设分点依次为D1、D2、D3、D4? 再把各分点与点A连接? 试以AB?c、BC?a表示向量D1A、D2A、D3A、
?????????????????????
D4A?
解 D1A?BA?BD1??c?1a?
5??? D2A?BA?BD2??c?2a?
5??? D3A?BA?BD3??c?3a?
5??? D4A?BA?BD4??c?4a?
5???? 4? 已知两点M1(0? 1? 2)和M2(1? ?1? 0)? 试用坐标表示式表示向量M1M2及?2M1M2?
解 M1M2?(1, ?1, 0)?(0, 1, 2)?(1, ?2, ?2)? ?2M1M2??2(1, ?2, ?2)?(?2, 4, 4)? 5? 求平行于向量a?(6? 7? ?6)的单位向量? 解 |a|?62?72?(?6)2?11? 平行于向量a?(6? 7? ?6)的单位向量为
1a?(6, 7, ?6)或?1a?(?6, ?7, 6)?
|a|111111|a|111111 6? 在空间直角坐标系中? 指出下列各点在哪个卦限？ A(1? ?2? 3)? B(2? 3? ?4)? C(2? ?3? ?4)? D(?2? ?3? 1)? 解 A在第四卦限? B在第五卦限? C在第八卦限? D在第三卦
限?
7? 在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置?
A(3? 4? 0)? B(0? 4? 3)? C(3? 0? 0)? D(0? ?1? 0)?
解 在xOy面上? 点的坐标为(x? y? 0)? 在yOz面上? 点的坐标为(0? y? z)? 在zOx面上? 点的坐标为(x? 0? z)?
在x轴上? 点的坐标为(x? 0? 0)? 在y轴上? 点的坐标为(0? y? 0)? 在z轴上? 点的坐标为(0? 0? z)?
A在xOy面上? B在yOz面上? C在x轴上? D在y轴上? 8? 求点(a? b? c)关于(1)各坐标面? (2)各坐标轴? (3)坐标原点的对称点的坐标?
解 (1)点(a? b? c)关于xOy面的对称点为(a? b? ?c)? 点(a? b? c)
????关于yOz面的对称点为(?a? b? c)? 点(a? b? c)关于zOx面的对称点为(a? ?b? c)?
(2)点(a? b? c)关于x轴的对称点为(a? ?b? ?c)? 点(a? b? c)关于y轴的对称点为(?a? b? ?c)? 点(a? b? c)关于z轴的对称点为(?a? ?b? c)?
(3)点(a? b? c)关于坐标原点的对称点为(?a? ?b? ?c)? 9? 自点P0(x0? y0? z0)分别作各坐标面和各坐标轴的垂线? 写出各垂足的坐标?
解 在xOy面、yOz面和zOx面上? 垂足的坐标分别为(x0? y0? 0)、(0? y0? z0)和(x0? 0? z0)?
在x轴、y轴和z轴上? 垂足的坐标分别为(x0? 0? 0)? (0? y0? 0)和(0? 0? z0)?
10? 过点P0(x0? y0? z0)分别作平行于z轴的直线和平行于xOy面的平面? 问在它们上面的点的坐标各有什么特点？ 解 在所作的平行于z轴的直线上? 点的坐标为(x0? y0? z)? 在所作的平行于xOy面的平面上? 点的坐标为(x? y? z0)? 11? 一边长为a的立方体放置在xOy面上? 其底面的中心在坐标原点? 底面的顶点在x轴和y轴上? 求它各顶点的坐标? 解 因为底面的对角线的长为2a? 所以立方体各顶点的坐标分别为
(?2a, 0, 0)? (2a, 0, 0)? (0, ?2a, 0)? (0, 2a, 0)?
2222 (?2a, 0, a)? (2a, 0, a)? (0, ?2a, a)? (0, 2a, a)?
2222 12? 求点M(4? ?3? 5)到各坐标轴的距离?