2019届苏教版(理科数学) 常见函数模型的应用题 单元测试

1.如图,某新建小区有一片边长为1(单位 百米)的正方形剩余地块ABCD,中间部分MN

221

≤x≤?的图象,另外的边缘是平行是一片池塘,池塘的边缘曲线段MN为函数y=?3?9x?3于正方形两边的直线段.为了美化该地块,计划修一条穿越该地块的直路l(宽度不计),直路l与曲线段MN相切(切点记为P),并把该地块分为两部分.记点P到边AD距离为t,f(t)表示该地块在直路l左下部分的面积. (1) 求f(t)的解析式; (2) 求面积S=f(t)的最大值.

?

?4>1,③当?9t

12?≤t≤?33,2t≤1,

141

即≤t<时,切线左下方的区域为一直角梯形,所以f (t)=392

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9142t-t2,≤t<,

439

??441

9?4t-9t+2t?·,≤t≤,2?2?1=2t-4t,综上所求函数f (t)的解析式f (t)=?99

4t-112?,

2

2

4t-1149944412

(2)由(1)得,当≤t<时,f (t)=2t-t2=-(t-)2+<,当

-2+<,所以所求面积S的最大值为Smax=. -??999?t9

2.如图1所示,某地打算在一块长方形地块上修建一个植物园(ABCDEF围成的封闭区域),其中AB长12百米,BC长4百米,CD=8.5百米,AF长0.5百米,DEF是一段曲线形公路.该植物园的核心区为等腰直角三角形MPQ所示区域,且MP= PQ,植物园大门位于公路DEF上的M处,音乐广场P位于AB的中点处,为了能够让游客更好地观赏园中的景观,现决定修建一条观光栈道,起点位于距离音乐广场P处2百米的O点所示位置,终点位于美食广场Q处.如图2所示,建立平面直角坐标系,若M(x,f(x))满足

[ ]2

k1??x, -2

??ax+b, -4≤x≤-2.

(1)求f(x)的解析式;

(2)求观光栈道OQ的长度的最小值.

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22

-?≥2+2所以OQ=2-x-=2+(-x)+??x?x2

x=-即x=-2时等号成立.

x

2-?=2+22(百米),?-x??当且仅当-?x?1317

x,x+?,则Q?x+,2-x?, 若-4≤x≤-2,设M??42??42?

[ ]OQ==

?1x+7?+?2-x?2

?42?

172965x-x+, 1644

17965

?-2?2-?-2?+=5,又1644

212749x+x++4-4x+x2=1644

17965

y=x2-x+在[-4,-2]上单调递减,所以OQ≥1644

因为2+22<5,所以OQ的长度的最小值为2+22百米.

3.某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销,在一年内预计销售Q(万件)与广告费x(万4x+1元)之间的函数关系为Q=(x≥0).已知生产此产品的年固定投入为4.5万元,每生

x+1产1万件此产品仍需再投入32万元,且能全部销售完.若每件销售价定为 “平均每件生产成本的150 ”与“年平均每件所占广告费的25 ”之和. (1)试将年利润W(万元)表示为年广告费x(万元)的函数;

(2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大?最大利润为多少?

解析 (1) 由题意可得,产品的生产成本为(32Q+4.5)万元, 32Q+4.5x

每件销售价为×150 +×25 .

QQ

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