考点跟踪突破21特殊三角形
一、选择题(每小题6分，共30分)
1．(2014·黄石)如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是( C)
A．30°B．60°C．90°D．120°
,第1题图),第2题图)
2．(2013·攀枝花)如图，在△ABC中，∠CAB＝75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，
使得CC′∥AB，则∠BAB′＝( A) A．30°B．35°C．40°D．50°
3．(2014·广东)一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为( A )
A．17B．15 C．13D．13或17
4．(2014·滨州)下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( B)
A．4，5，6B．1.5，2，2.5 C．2，3，4D．1，2，3
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，点D是AB的中点，点E，F分别在AC，BC边上运动(点E不与点A，
C重合)，且保持AE＝CF，连接DE，DF，EF.在此运动变化的过程中，有下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形；
②四边形CEDF不可能为正方形；
③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；
7．
④点C到线段EF的最大距离为2.
其中正确的有( B)
A．1个B．2个C．3个D．4个 二、填空题(每小题6分，共30分)
6．(2014·临夏)等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，则BC边上的高是__8__cm.(2014·呼和浩特)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，
则该等腰三角形的底角的度数为__63°或27°__．
8．(2013·黄冈)已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至点E，使CE＝CD＝1，连接DE，则DE＝__3
__．
9．(2014·凉山)已知一个直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为__5或7__．
10．(2013·张家界)如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP，得OP1＝2；再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1， 得OP2＝3；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2……依此法继续作下去，得OP2012＝__2013__．
三、解答题(共40分)
11．(10分)(2014·襄阳)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，
给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC.
(1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？(用序号写出所有成立的情形)
(2)请选择(1)中的一种情形，写出证明过程．
解：(1)①②；①③(2)选①③证明如下，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠EBO＝∠DCO，又∵∠ABC＝
∠EBO＋∠OBC，∠ACB＝∠DCO＋∠OCB，∴∠ABC＝∠ACB，∴△ABC是等腰三角形
12．(10分)(2014·温州)如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，
交BC的延长线于点F. (1)求∠F的度数；
(2)若CD＝2，求DF的长．
解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝90°－∠EDC＝30°
(2)∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，∴△EDC是等边三角形．∴ED＝DC＝2，∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴
DF＝2DE＝4
13．(10分)(2012·泰安)如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，点F为BC中点，
BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE＝∠CBE.
(1)线段BH与AC相等吗，若相等给予证明，若不相等请说明理由；
(2)求证：BG2－GE2＝EA2.
解：
(1)∵∠BDC＝∠BEC＝∠CDA＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BCD＝45°＝∠ABC，∠A＋∠DCA＝90°，∠A＋∠ABE＝90°，∴DB＝DC，∠ABE＝∠DCA，在△DBH和△DCA中，∵∠DBH＝∠DCA，BD＝CD，∠
BDH＝∠CDA，∴△DBH≌△DCA(ASA)，∴BH＝AC
(2)连接CG，∵F为BC的中点，DB＝DC，∴DF垂直平分BC，∴BG＝CG，∵∠ABE＝∠CBE，BE⊥AC，在Rt△ABE和Rt△CBE中，∠AEB＝∠CEB，BE＝BE，∠CBE＝∠ABE，∴△ABE≌△CBE(ASA)，∴EC＝EA.在Rt△
CGE中，由勾股定理得CG2－GE2＝EC2，∴BG2－GE2＝EA2
14．(10分)(2013·常德)已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，连接AF，
M是AF的中点，连接MB，ME.
(1)如图①，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；
(2)如图①，若CB＝a，CE＝2a，求BM，ME的长； (3)如图②，当∠BCE＝45°时，求证：BM＝ME.
解：(1)证法一：如图①，延长AB交CF于点D，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，∴ AB＝BC＝BD，∴点B为线段AD的中点，又∵点M为线段AF的中点，∴BM为△ADF的中位线，∴BM∥CF
证法二：如图②，延长BM交EF于点D，∵∠ABC＝∠CEF＝90°，∴AB⊥CE，EF⊥CE，∴AB∥EF，∴∠
?∠BAM＝∠DFM，
?
BAM＝∠DFM，∵M是AF的中点，∴AM＝FM，∵在△ABM和△FDM中，?AM＝FM，∴△ABM≌△
??∠AMB＝∠FMD，
FDM(ASA)，∴AB＝DF，∵BE＝CE－BC，DE＝EF－DF，∴BE＝DE，∴△BDE是等腰直角三角形，∴∠EBM＝45°，
∵在等腰直角△CEF中，∠ECF＝45°，∴∠EBM＝∠ECF，∴MB∥CF
(2)如图③所示，延长AB交CF于点D，则易知△BCD与△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝BC＝BD＝a，
1
AC＝CD＝2a，∴点B为AD中点，又∵点M为AF中点，∴BM＝DF.分别延长FE与CA交于点G，
2
则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，∴CE＝EF＝GE＝2a，CG＝CF＝22a，∴点E为FG中点，
112
又点M为AF中点，∴ME＝AG.∵CG＝CF＝22a，CA＝CD＝2a，∴AG＝DF＝2a，∴BM＝ME＝×2a＝
222
a
(3)证法一：如图④，延长AB交CE于点D，连接DF，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，∴
1
AB＝BC＝BD，AC＝CD，∴点B为AD中点，又点M为AF中点，∴BM＝DF.延长FE与CB交于点G，连接AG，
2
则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，∴CE＝EF＝EG，CF＝CG，∴点E为FG中点，又点M为AF中点，∴
AC＝CD??1
ME＝AG.在△ACG与△DCF中，?∠ACG＝∠DCF＝45°，∴△ACG≌△DCF(SAS)，∴DF＝AG，∴BM＝ME
2
??CG＝CF
证法二：如图⑤，延长BM交CF于点D，连接BE，DE，∵∠BCE＝45°，∴∠ACD＝45°×2＋45°＝135°，∴