数学试卷
惠州市2019届高三第三次调研考试
数学试题(理科）
（本试卷共5页，21小题，满分150分。考试用时120分钟） 注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．设集合U?{1,2,3,4,5}，A?{1,3},B?{2,3,4}，则痧UA?A．{1}
UB＝( )
D．{5}
B．{1,2,4,5} C．{2,4}
2．在复平面内,复数
2i对应的点的坐标在第( )象限 1?iA. 一 B．二 C．三 D．四 3．“a??2”是“直线ax?2y?0垂直于直线x?y?1”的( )条件 A．充分不必要
B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
4．不等式2x?1＜1的解集为( )
A．(?1,1) B．(?1,0) C．(0,1) D．(0,2)
Sn为?an?的前n项和, n?N,5．已知?an?为等差数列，其公差为?2，且a7是a3与a9的等比中项，
*则S10的值为( )
A．－110 B．－90 C．90 D．110 6．已知实数a?0，函数f(x)??A．??2x?a,x?1，若f(1?a)?f(1?a)，则a的值为( )．
??x?2a,x?13333 B． C．? D． 4455数学试卷
7．定义运算
2sinx1ab图像的一条对称轴方程是( ) ?ad?bc,则函数f(x)??2cosxcd B．x?
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x2y218．设椭圆2?2?1 (a?b?0)的离心率e?，右焦点F(c,0)，方程ax2?bx?c?0的两个根
ab2分别为x1，x2，则点P(x1,x2)在( ) A．圆x2?y2?2内 C．圆x2?y2?2外
B．圆x2?y2?2上 D．以上三种情况都有可能
A．x?
?? C．x?? D．x?0
二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分） （一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9．读下列程序，程序输出的函数y? ． INPUT x IF x?0 THEN y??x?1 ELSE
IF x?0 THEN y?0 ELSE
y?x?1 END IF
END IF PRINT y END
10．为了保证食品安全，现采用分层抽样的方法对某市场甲、乙、丙、丁四个厂家生产的奶粉进行
检测，若甲、乙、丙、丁四个厂家生产的奶粉分别为120袋、100袋、80袋、60袋，已知从甲、乙两个厂家抽取的袋数之和比从另外两个厂家抽取的袋数之和多8袋，则从四个厂家共抽取了________袋．
11．已知a?6,b?62，若ta?b与ta?b的夹角为钝角，则t的取值范围为 ． 12．用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：
数学试卷
①若a∥b，b∥c，则a∥c； ②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c； ③若a∥γ，b∥γ，则a∥b； ④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b. 其中真命题的序号是 ．
?x?4y??4y?1?13．已知?3x?5y?15，则z?的最大值为 ．
x?2?x?1,y??2?（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做其中一题，两题全答的，只计第14题的得分。 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点P(2,3?)到直2线l:3?cos??4?sin??3的距离为 ． 15．（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切线，切点为A，
PA?2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB?1，
则圆O的半径R的长为________．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）
在?ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，又cosA?4. 5A?cos2A的值； 2（2）若b?2，?ABC的面积S?3，求a的值.
（1）求cos2
17．（本小题满分12分）
如图，在底面是矩形的四棱锥P?ABCD中，PA?平面ABCD，PA?AB?2,BC?1,E是
PD的中点.
（1）求证：平面PDC⊥平面PAD； （2）求二面角E?AC?D所成平面角的余弦值.
P
E
A B C D
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18．（本小题满分14分）
甲、乙两运动员进行射击训练，已知他们击中目标的环数都稳定在7、8、9、10环，且每次射击成绩互不影响，射击环数的频率分布表如下：
甲运动员 乙运动员 射击环数 7 8 9 10 合计 频数 10 10 频率 0.1 0.1 0.45
若将频率视为概率，回答下列问题：
（1）求表中x，y，z的值及甲运动员击中10环的概率；
（2）求甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上(含9环)的概率．
（3）若甲运动员射击2次，乙运动员射击1次，?表示这3次射击中击中9环以上(含9环)的次
数，求?的分布列及E?.
19．（本小题满分14分）
已知函数f(x)?ax?lnx(a?R). （1）求f(x)的单调区间；
（2）设g(x)?x2?2x?2，若对任意x1?(0,??)，均存在x2?[0,1]，使得f(x1)?g(x2)，
求a的取值范围.
射击环数 7 8 9 10 合计 频数 8 12 频率 0.1 0.15 0.35 1 x 35 100 z 80 y 1 数学试卷
20．（本小题满分14分）
3x2y2已知椭圆C1：2?2?1 (a?b?0)的离心率为，直线L:y?x?2与以原点为圆心、以
3ab椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切． （1）求椭圆C1的方程；
（2）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线L1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线L2垂直L1
于点P，线段PF2的垂直平分线交L2于点M，求点M的轨迹C2的方程；
（3）若AC、BD为椭圆C1的过右焦点F2的两条相互垂直的弦，求四边形ABCD面积的最小值．
21．（本小题满分14分）
2定义：若数列{An}满足An?1?An，则称数列{An}为“平方数列”。已知数列{an}中，a1?2，2点(an,an?1)在函数f(x)?2x?2x的图像上，其中n为正整数。
（1）证明：数列{2an?1}是“平方数列”，且数列{lg(2an?1)}为等比数列。 （2）设（1）中“平方数列”的前n项之积为Tn，即Tn?(2a1?1)(2a2?1)求数列{an}的通项及Tn关于n的表达式。
（3）对于（2）中的Tn，记bn?log2an?1Tn，求数列{bn}的前n项之和Sn，并求使Sn?4020的n的
最小值。
(2an?1)，