2018吉林中考数学总复习动点问题
因动点产生的等腰三角形问题练习
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1.如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°． （1）求ED、EC的长；
（2）若BP＝2，求CQ的长；
（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．
图1 备用图
解：（1）在Rt△ABC中， AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．
ED?CD?tan?C?5?31525在Rt△CDE中，CD＝5，所以
4?4EC?，4． （2）如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是
△ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3．
由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN． 因此△PDM∽△QDN．
PM?DM434所以QNDN?3QN?PMPM?QN．所以4，3．
图2 图3 图4
①如图3，当BP＝2，P在BM上时，PM＝1． QN?33319此时
4PM?4CQ?CN?QN?4?．所以
4?4． ②如图4，当BP＝2，P在MB的延长线上时，PM＝5．
QN?3PM?15CQ?CN?QN?4?1531此时
44．所以4?4． tan?QPD?QDDN3（3）如图5，如图2，在Rt△PDQ中，
PD?DM?4． tan?C?BA3在Rt△ABC中，
CA?4．所以∠QPD＝∠C． 由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ．
因此△PDF∽△CDQ．
当△PDF是等腰三角形时，△CDQ也是等腰三角形．
①如图5，当CQ＝CD＝5时，QN＝CQ－CN＝5－4＝1（如图3所示）．
1
PM?4此时
3QN?43BP?BM?PM?3?4?5．所以33． cosC?CHCQ?5425②如图6，当QC＝QD时，由
CQ??，可得258． 4?257所以QN＝CN－CQ＝8?8（如图2所示）．
PM?47此时
3QN?6BP?BM?PM?3?725．所以6?6． ③不存在DP＝DF的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如图5，图6所示）．
图5 图6
2.如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
图1
解：（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)， 代入点C(0 ,3)，得－3a＝3．解得a＝－1．
所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3． （2）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1．
当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小． 设抛物线的对称轴与x轴的交点为H． BH由
BO?PHCO，BO＝CO，得PH