等差数列的性质同步练习题2(含答案)

等差数列的性质同步练习题二

班级 姓名

( )1.已知等差数列{an}中,a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9等于 A.30 B.27 C.24 D.21 ( )2.已知在等差数列{an}中,a1<0,S25=S45,若Sn最小,则n为 A.25 B.35 C.36 D.45

( )3.设{an}是等差数列,公差为d,Sn是其前n项和,且S5S8.下列结论错误的是 A.d<0 B.a7=0 C.S9>S5 D.S6和S7为Sn最大值

( )4.在等差数列{an}中,已知a1+a2+…+a50=200,a51+a52+…+a100=2700,则a1等于 A.-20

B.-20

1 2 C.-21

1 2 D.-22

( )5.已知数列?an?的通项公式an?3n?50,则其前n项和Sn 的最小值是

A.?784 B.?392 C.?389 D.?368 ( )6.公差不为0的等差数列?an?中,a2,a3,a6依次成等比数列,则公比等于 A.

11. B.. C.2. D.3. 23( ) 7.等差数列{an}中,共有2n?1项,其中a1?a3???a2n?1?8,a2?a4???a2n?7,则n的值是 A.3. B. 5. C. 7. D.9 ( )8.数列{an}的前n项和是Sn,如果Sn?3?2an (n?N*),则这个数列一定是

A.等比数列. B.等差数列. C.除去第一项后是等比数列. D.除去第一项后是等差数列. ( )9.设{an}是公差为–2的等差数列,如果a1?a4?a7??a97?50.那么a3?a6?a9??a99? A.–182 B.–78 C.–148 D.–82

2??n(当n为奇数时)( )10.已知函数 f(n)??2 且 an?f(n)?f(n?1) , 则a1?a2?a3???a100?

???n(当n为偶数时)A.100 B.-100

C.1002

2 D.101?1

( )11.数列?an?满足an?an?1?A、

1(n?N且n?1),a2?1,sn是?an?的前n次和,则S21为 2911 B、 C、6 D、10

22( )12.一个正整数数表如下(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍):

1 2 3 4 5 6 7

…………… 则第8行中的第5个数是

A、68 B、132 C、133 D、260

22( ) 13.等差数列{an}的公差d?0,且a1?a11,则数列{an}的前n项和Sn取得最大值时的项数n是( )

A.5 B.6 C.5或6 D.6或7

14.等差数列{an}中,3(a3?a5)?2(a7?a10?a13)?24,则此数列前13项和是_____26_____.

15.已知等差数列{an}的公差d =

1,且前100项和S100 = 145,那么a1 + a3 + a5 +…+a99 = 60 . 216.等差数列{an}中,若a3+a5=a7-a3=24,则a2=___0___. 17.一个等差数列的前12项的和为354,前12项中,偶数项和与奇数项和之比为32∶27,则公差d等于__5 _. 18.设等差数列{an}共有3n项,它的前2n项和为100,后2n项和是200,则该数列的中间n项和等于 75 . 19.已知f(x+1)=x2-4,等差数列{an}中,a1=f(x-1), a2=-

3,a3=f(x).(1)求x值;(2)求a2+a5+a8+…+a26的值. 2【解】 (1)∵f(x-1)=(x-1-1)2-4=(x-2)2-4 ∴f(x)=(x-1)2-4,∴a1=(x-2)2-4,a3=(x-1)2-4 又a1+a3=2a2,解得x=0或x=3.

3333、-3或-3、-、0 ∴an=-(n-1)或an=(n-3) 222235139①当an=-(n-1)时,a2+a5+…+a26=(a2+a26)=?

22239297②当an=(n-3)时,a2+a5+…+a26=(a2+a26)=.

222(2)∵a1、a2、a3分别为0、-

20.已知函数f(x)=-x3+ax在(0,1)上是增函数.(1) 求实数a的取值集合A;

(2) 当a取A中最小值时,定义数列{an}满足:2an+1=f(an),且a1=b∈(0,1)(b为常数),试比较an+1与an的大an+c*

小; (3) 在(2)的条件下,问是否存在正实数c.使0<<2对一切n∈N恒成立?

an-c(1)f'(x)=3x2+a>0,对x∈(0,1)恒成立,求出a≥3.………………4分 133

(2)当a=3时,由题意:an+1=-an+an,且a1=b∈(0,1)

22

以下用数学归纳法证明:an∈(0,1),对n∈N恒成立.

①当n=1时,a1=b∈(0,1)成立;………………………………………………6分

131

②假设n=k时,ak∈(0,1)成立,那么当n=k+1时, ak+1=ak3+ak,由①知g(x)=(-x3+3x)

222在(0,1)上单调递增,∴g(0)<g(ak)<g(1) 即0<ak+1<1, 由①②知对一切n∈N都有an∈(0,1) 131

而an+1-an=-an3+an-an=an(1-an2)>0 ∴an+1>an…………………………………10分

222an+cx+c2c

(3)存在正实数c,使0<<2恒成立,令y==1+,在(c,+∞)上是减数,

an-cx-cx-c∴

an+can+c

随着an增大,而小, 又{an}为递增数列,所以要使0<<2恒成立, an-can-c

??a1-c>0a1b只须?a1+c∴ 0<c<,即0<c< ……… 14分

33 <2??a1-c

3?an, (Ⅰ)试求a1的值,使得数列{an}是一个常数数列; 2(Ⅱ)试求a1的取值范围,使得an+1>an对任何自然数n都成立;

21.已知数列{an}中,a1>0, 且an+1=

(Ⅲ)若a1 = 2,设bn = | an+1-an| (n = 1,2,3,…),并以Sn表示数列{bn}的前n项的和,求证:Sn<【思路分析】:解:(Ⅰ)欲使数列{an}是一个常数数列,则an+1=又依a1>0,可得an>0并解出:an=(Ⅱ)研究an+1-an=

3?an= an ……………………2’ 21. 233,即a1 = an = ……………………4’ 22?3?an3?an?1 (n≥2) 注意到2???22???????>0 ??an?an?13?an3?an?1-=22?3?an3?an?12???22?因此,可以得出:an+1-an,an-an-1,an-1-an-2,…,a2-a1有相同的符号……………7’ 要使an+1>an对任意自然数都成立,只须a2-a1>0即可.由(Ⅲ)用与(Ⅱ)中相同的方法,可得 当a1>

3?a13?a1>0,解得:0

∴ Sn= b1+b2+…bn=|a2-a1| + |a3-a2| +…+ |an+1-an|=a1-a2+a2-a3+…+an-an+1 =a1-an+1=2-an+1 ………………………………………………………13’

3?an?1331又:an+2=< an+1,可解得an+1>, 故Sn<2-=………………………………………14’

2222

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