概率论与数理统计 第二章习题
1 考虑为期一年的一张保险单，若投保人在投保一年内意外死亡，则公司赔付20万元，若投保人因其它原因死亡，则公司赔付5万元，若投保人在投保期末自下而上，则公司无需传给任何费用。若投保人在一年内因意外死亡的概率为0.0002，因其它原因死亡的概率为0.0010，求公司赔付金额的分崣上。
解 设赔付金额为X，则X是一个随机变量，取值为20万，5万，0，其相应的概率为0.0002；0.0010；0.9988，于是得分布律为 X 20（万） 0.0002 5万 0.0010 0 0.9988 px
2.（1）一袋中装有5只球，编号为1,2，3,4，5。在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律
（2）将一颗骰子抛掷两次，以X表示两次中得到的小的点数，试求X的分布律。 解 （1）在袋中同时取3个球，最大的号码是3,4，5。每次取3个球，其总取法：
3C5?5?4?10，若最大号码是3，则有取法只有取到球的编号为1,2，3这一种取法。2?121C21因而其概率为 P{X?3}?3?3?
C5C510若最大号码为4，则号码为有1,2，4；1，3,4； 2，3，4共3种取法，
3C323 其概率为P{X?4}?3?3?
C5C510若最大号码为5，则1，2,5；1,3，5；1，4,5；2,3，5；2,4，5；3,4，5共6种取法
6C526其概率为 P{X?5}?3?3?
C5C5102Cx2?1一般地 p(X?x)?，其中Cx?1为最大号码是x的取法种类数，则随机变量3C5X的分布律为
X 3 4 5 px 1 103 106 10（2）将一颗骰子抛掷两次，以X表示两次中得到的小的点数，则样本点为 S＝｛（1,1），（1,2），（1,3），?，（6,6）｝，共有36个基本事件， X的取值为1,2，3,4，5,6，
最小点数为1，的共有11种，即（1,1，），（1,2），（2,1）?，（1,6），（6,1），
P{X?1}?11； 36最小点数为2的共有9种，即（2,2），（2,3），（3,2），?，（3,6），（6,3），
} P{X?2?9； 367； 365最小点数为4的共有5种，P{X?4}?；
363最小点数为5的共有3种，P{X?5}?；
361最小点数为6的共有1种，P{X?6}?
36最小点数为3的共有7种，P{X?3}?于是其分布律为 X 1 2 3 4 5 6 pk 1197531 363636363636
3 设在15只同类型的产品中有2只次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品的次数，
（1）求X的分布律； （2）画出分布律的图形。
解 从15只产品中取3次每次任取1只，取到次品的次数为0，1，2。在不放回的情形下，
3从15只产品中每次任取一只取3次，其总的取法为： P15?15?14?13，
其概率为
3若取到的次品数为0，即3次取到的都是正品，其取法为 P13?13?12?11
}其概率为 p{X?0?13?1?21122?
15?1?41335若取到的次品数为1，即有1次取正品，2次取到次品，其取法为
112C3C2P13?3?2?13?12
}其概率为 p{X?1?3?2?1?31212?
15?1?4133522121??。 3535351 2 若取到的次品数为2，，其概率为
p{X?2}?1?p{X?0}?p{X?1}?1?于是其分布律为
X 0 px （2）分布律图形略。 22 3512 351 354 进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为p，失败的概率为q?1?p（0?p?1），
（1）将试验进行到出现一次成功为止，以X表示所需要的试验次数，求X的分布律。（此时称X服从以p为参数的几何分布。）。 （2）将试验进行到出现r次成功为止，以Y表示所需要的试验次数，求Y的分布律。（此时称Y服从以r，p为参数的巴斯卡分布或负二项分布。）
解 （1）X的取值为1,2,?,n,?，对每次试验而言，其概率或为1，或为q所以其分布律为
X 1 2 3 4 ? n ? 23n?1 p qp qp qp ? qp ? pk (2)Y的取值为r,r?1,?,n,?，对每次试验而言，其概率或为1，或为q所以其分布律为
Y r r?1 r?2 ? r?k ? 1r22rkkrpr Cr?1qp Cr?2qp ? Cr?kqp ? pk
5.一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞往了房间，它只能从开着的窗子飞出去，鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的。
（1）以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X的分布律。
（2）户主声称，他养的一只鸟是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。以