量子力学期中考试题（2012年）
??1、在球坐标系下用?r,?,??描述三维空间的三个自由度，定义算符Tr?是厄米算符。 Tr1?2?r，证明2r?r?r????,V??r?] ??z?,x?]，[L?L?L?,P?]，[x?,PLP (b)计算下列对易式：[???]，[L???????2、(a)判断下列哪些算符是厄米算符：xpx，Lxpy，Lzz。
n2yxyxzz???x??，P?，??（??x,y,z）分别为角动量平方算符、角动量分量算符、动 其中，L2，L????r?为某中心势场的位能算符。 量算符和坐标算符，而V?和哈密顿算符H?和H?的对应于其某一本征值a的本?对易，A?都不显含时间，A3、算符A?u?au，A?v?av，u和v是正交归一的，征态是二重简并的，即A但u和v??uu?vv。证明：对于该量子体系的任一量?的本征态。定义算符：P都不是Ha???t??P?a?不随时间变化。 子态??t?，??t?Pa?????????4、L和p是处于三维空间中某粒子的角动量算符和动量算符，n和m是三维空间中的二任
意单位矢量。证明
????????????????n?L?,m?p?i?n?m?p.
??????5、某三维体系中粒子的哈密顿量为：
22?y2pp??pxz?? H???V(x)?W(y)?U(z)，
2m2m2m 其中
V(x)?0，W(y)??1?0,m?2y2，U(z)??2???,z?a, z?a.⑴、写出该粒子的能量本征值及相应的本征波函数，并分析其简并度； ⑵、写出该体系的一种完整力学量组。 6、在由正交规一基矢u1,u2,u3的矩阵表示如下：
??和一力学量算符B? ?所张成的三维空间中，能量算符H?100??100????? H???0?020?， B?b?001?
?010??002?????其中?0和b是实常数。
?是守恒量； (1)证明力学量B?和B?共同的本征态系； (2)求H?表象中力学量算符B?和能量算符H?的矩阵表示。 (3)给出B?和能量算符H?各有两个归一化的本征函数?,?和?,?，相应的本7、已知力学量算符F2112征值分别为f1,f2和E1,E2。两力学量本征波函数之间的关系为
?1??1?2?2的几率；
??3, ?2??2?1??2?3。
?的结果为f，紧接着测量能量，之后紧接着再测量F?，求得到f (a)设在某态上测量F21?的平均值； (b)若初始时刻体系处于?(t?0)??2态上，求t?0时测量FZe28、类氢原子中电子处于库仑位场V(r)??中，写出电子的径向方程，并计算库仑位场
rV(r)在束缚定态?nlm?r,?,???Rnl?r?Ylm(?,?)上的期望值。
9、已知当t?0时氢原子中电子的波函数为
111 ?(r,?,?)??210(r,?,?)??321(r,?,?)??200(r,?,?)，
222?)2； a) 求t?0时刻电子能量的平均值及差方平均值(?H?2和L?的平均值； b) 求t?0时刻Lzc) 写出t?0时电子的波函数；
d) 求t?0时电子宇称的可测值及相应几率。