专题二 函数与导数第3讲 导数及其应用
真题试做
1x1．(2012·课标全国高考，理12)设点P在曲线y＝e上，点Q在曲线y＝ln(2x)上，则
2
|PQ|的最小值为( )．
A．1－ln 2 B．2(1－ln 2) C．1＋ln 2 D．2(1＋ln 2)
2．(2012·湖北高考，理3)已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为( )．
2π43πA． B． C． D． 5322
3
3．(2012·大纲全国高考，理10)已知函数y＝x－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝( )．
A．－2或2 B．－9或3 C．－1或1 D．－3或1
??ln x，x＞0，
4．(2012·陕西高考，理14)设函数f(x)＝?D是由x轴和曲线y＝f(x)
?－2x－1，x≤0，?
及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则z＝x－2y在D上的最大值为__________．
13
5．(2012·重庆高考，理16)设f(x)＝aln x＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在
2x2
点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
ln x＋k6．(2012·山东高考，理22)已知函数f(x)＝(k为常数，e＝2.718 28…是自然xe
对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．
(1)求k的值；
(2)求f(x)的单调区间；
2
(3)设g(x)＝(x＋x)f ′(x)，其中f ′(x)为f(x)的导函数，证明：对任意x＞0，g(x)－2
＜1＋e.
3
7．(2012·浙江高考，理22)已知a＞0，b∈R，函数f(x)＝4ax－2bx－a＋b. (1)证明：当0≤x≤1时，
①函数f(x)的最大值为|2a－b|＋a； ②f(x)＋|2a－b|＋a≥0；
(2)若－1≤f(x)≤1对x∈[0,1]恒成立，求a＋b的取值范围． 考向分析
理科用从近三年高考来看，该部分高考命题有以下特点：
从内容上看，考查导数主要有三个层次：(1)导数的概念、求导公式与法则、导数的几何意义；(2)导数的简单应用，包括求函数极值，求函数的单调区间、证明函数的单调性等；(3)导数的综合考查，包括导数的应用题以及导数与函数、不等式等的综合题．另外，对微积分基本定理的考查频率较低，难度较小，着重于基础知识、基本方法的考查．
从特点上看，高考对导数的考查有时单独考查，有时在知识交汇处考查，常常将导数与函数、不等式、方程、数列、解析几何等结合在一起考查．
从形式上看，考查导数的试题有选择题、填空题、解答题，有时三种题型会同时出现．
热点例析
热点一 导数的几何意义 【例１】设函数f(x)＝ax＋
1
(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程x＋b为y＝3.
(1)求y＝f(x)的解析式；
(2)证明曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝1和直线y＝x所围三角形的面积为定值，并求出此定值．
规律方法 1．导数的几何意义：
函数y＝f(x)在x0处的导数f ′(x0)的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．
2．求曲线切线方程的步骤：
(1)求出函数y＝f(x)在点x＝x0的导数f ′(x0)，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；
(2)已知或求得切点坐标P(x0，f(x0))，由点斜式得切线方程为y－y0＝f ′(x0)(x－x0)． 特别提醒：①当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，由切线定义可知，切线方程为x＝x0；②当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解．
2
变式训练1 (1)设曲线y＝ax在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝__________.
1
(2)曲线y＝sin x(0≤x≤π)与直线y＝围成的封闭图形的面积是( )．
2ππ
A．3 B．2－3 C．2－ D．3－ 33
热点二 利用导数研究函数的单调性
2x【例２】理科用已知a∈R，函数f(x)＝(－x＋ax)e(x∈R，e为自然对数的底数)． (1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围． 规律方法 利用导数研究函数单调性的一般步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求导函数f ′(x)；
(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f ′(x)＞0或f ′(x)＜0.②若已知函数的单调性求参数，只需转化为不等式f ′(x)≥0或f ′(x)≤0在单调区间内恒成立问题求解．解题过程中要注意分类讨论；函数单调性问题以及一些相关的逆向问题，都离不开分类讨论思想．
2
变式训练2 已知函数f(x)＝x－＋a(2－ln x)，a＞0.讨论f(x)的单调性．
x热点三 利用导数研究函数极值和最值问题
32
【例３】已知函数f(x)＝x－ax－3x.
(1)若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；
1
(2)若x＝－是f(x)的极值点，求f(x)在[1，a]上的最大值；
3
(3)在(2)的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)＝bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点？若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由．
规律方法 利用导数研究函数极值的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求函数f(x)的导数f ′(x)；(3)①若求极值，则先求出方程f ′(x)＝0的根，再检验f ′(x)在方程根左右边f ′(x)的符号，求出极值．当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内．②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f ′(x)＝0根的大小或存在情况，从而求解．
1
变式训练3 已知函数f(x)＝＋aln x(a≠0，a∈R)．
x(1)若a＝1，求函数f(x)的极值和单调区间；
(2)若a＜0且在区间(0，e]上至少存在一点x0，使得f(x0)＜0成立，求实数a的取值范围．
思想渗透
转化与化归思想解决函数问题
转化与化归常用的方法是等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价问题，以达到化归的目的．
【典型例题】已知函数f(x)＝x(ln x＋m)，g(x)＝x＋x.
3
(1)当m＝－2时，求f(x)的单调区间；
3
(2)若m＝时，不等式g(x)≥f(x)恒成立，求实数a的取值范围．
2
解：(1)当m＝－2时，f(x)＝x(ln x－2)＝xln x－2x，定义域为(0，＋∞)，且f ′(x)＝ln x－1.
由f ′(x)＞0，得ln x－1＞0，所以x＞e. 由f ′(x)＜0，得ln x－1＜0，所以0＜x＜e.
故f(x)的单调递增区间是(e，＋∞)，递减区间是(0，e)．
a3
3时，不等式g(x)≥f(x)， 23?a3?即x＋x≥x?ln x＋?恒成立． 2?3?
(2)当m?a23
由于x＞0，所以x＋1≥ln x＋，
32
1??3?ln x＋?2?a21?
亦即x≥ln x＋，所以a≥ . 2
32x1??3?ln x＋?2?－6ln x?
令h(x)＝ ，则h′(x)＝， 23xx由h′(x)＝0得x＝1.
且当0＜x＜1时，h′(x)＞0； 当x＞1时，h′(x)＜0，
即h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
3
所以h(x)在x＝1处取得极大值h(1)＝，
2
也就是函数h(x)在定义域上的最大值．
1??3?ln x＋?2?3?
因此要使a≥恒成立，需有a≥，此即为a的取值范围． 2x2
理科用1．?(e＋2x)dx等于( )．
A．1 B．e－1 C．e D．e＋1 sin x1?π?2．曲线y＝－在点M?，0?处的切线的斜率为( )． sin x＋cos x2?4?1122
A．－ B． C．－ D．
2222
10x