高中立体几何证明平行的专题(基本方法) 立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行,而证明线线平行一般有以下的一些方法:
(1)通过“平移”。(2)利用三角形中位线的性质。(3)利用平行四边形的性质。(4)利用对应线段成比例。(5)利用面面平行,等等。 (1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质
1.如图,四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形,点E、F 分 别为棱AB、 PD的中点.求证:AF∥平面PCE;
分析:取PC的中点G,连EG.,FG,则易证AEGF是平行四边形
2、如图,已知直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=1,BC=2,CD=1+, 过A作AE⊥CD,垂足为E,G、F分别为AD、CE的中点,现将△ADE沿AE折叠,使得DE⊥EC.
(Ⅰ)求证:BC⊥面CDE; (Ⅱ)求证:FG∥面BCD;
分析:取DB的中点H,连GH,HC则易证FGHC是平行四边形
3、已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,D, E, F分别为AA1, CC1, AB的中点, M为BE的中点, AC⊥BE. 求证:
(Ⅰ)C1D⊥BC; (Ⅱ)C1D∥平面B1FM.
分析:连EA,易证C1EAD是平行四边形,于是MF//EA
4、如图所示, 四棱锥PABCD底面是直角梯形, CD=2AB, E为PC的中点, 证明: ; 分析::取PD的中点F,连EF,AF则易证ABEF是平行四边形 (2) 利用三角形中位线的性质 5、如图,已知、、、分别是四面体的棱、、、的中点,求证:∥平面。
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分析:连MD交GF于H,易证EH是△AMD的中位线
6、如图,ABCD是正方形,O是正方形的中心,E是PC的中点。 求证: PA ∥平面BDE
7.如图,三棱柱ABC—A1B1C1中, D为AC的中点. 求证:AB1//面BDC1;
分析:连B1C交BC1于点E,易证ED是
△B1AC的中位线
8、如图,平面平面,四边形与都是直角梯形, ,,分别为的中点
(Ⅰ)证明:四边形是平行四边形; (Ⅱ)四点是否共面?为什么?
(.3) 利用平行四边形的性质
9.正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心,M为BB1的中点, 求证: D1O//平面A1BC1;
分析:连D1B1交A1C1于O1点,易证四边形OBB1O1 是平行四边形
10、在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB=DC,.
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求证:AE∥平面PBC;
分析:取PC的中点F,连EF则易证ABFE 是平行四边形
11、在如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,∠ ACB=,EA⊥平面ABCD,EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC.AB=2EF.
(Ⅰ)若M是线段AD的中点,求证:GM∥平面ABFE; (Ⅱ)若AC=BC=2AE,求二面角A-BF-C的大小.
(I)证法一:
因为EF//AB,FG//BC,EG//AC,, 所以∽
由于AB=2EF,因此,BC=2FC, 连接AF,由于FG//BC,
在中,M是线段AD的中点,则AM//BC,且
因此FG//AM且FG=AM,所以四边形AFGM为平行四边形,因此GM//FA。 又平面ABFE,平面ABFE,所以GM//平面AB。 (4)利用对应线段成比例
12、如图:S是平行四边形ABCD平面外一点,M、N分别是SA、BD上的点,且=, 求证:MN∥平面SDC
分析:过M作ME//AD,过N作NF//AD 利用相似比易证MNFE是平行四边形
13、如图正方形ABCD与ABEF交于AB,M,N分别为AC和BF上的点且AM=FN求证:MN∥平面BEC
分析:过M作MG//AB,过N作NH/AB 利用相似比易证MNHG是平行四边形
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