则阴影部分区域在直线z=kx+2y的右上方，
∴目标函数的斜率﹣大于x+y=2的斜率且小于直线2x﹣y=1的斜率 即﹣1＜﹣＜2，
解得﹣4＜k＜2，
即实数k的取值范围为（﹣4，2）， 故答案为：（﹣4，2）．
点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．根据条件目标函数仅在点（1，1）处取得最小值，确定直线的位置是解决本题的关键．
13．（5分）已知cosα=，cos（α﹣β）=
，且0
，则cosβ=．
考点： 两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系． 专题： 计算题；三角函数的求值．
分析： 通过α、β的范围，求出α﹣β的范围，然后求出sinα，sin（α﹣β）的值，即可求解cosβ．
解答： 解：因为cosα=，cos（α﹣β）=
，且0
，∴α﹣β＞0
所以sinα==，
α﹣β∈（0，），sin（α﹣β）==，
cosβ=cos[（α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β） =
故答案为：．
=
- 11 -
点评： 本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，考查角的变化技巧，考查计算能力．
【坐标系与参数方程】
14．（5分）在极坐标系中，圆ρ=4cosθ的圆心到直线θ=
（θ∈R）的距离是1．
考点： 简单曲线的极坐标方程． 专题： 坐标系和参数方程．
分析： 先将极坐标方程化为普通方程，可求出圆心的坐标，再利用点到直线的距离公式即可求出答案．
22222
解答： 解：∵圆ρ=4cosθ，∴ρ=4ρcosθ．，化为普通方程为x+y=4x，即（x﹣2）+y=4，∴圆心的坐标为（2，0）． ∵直线θ=
（ρ∈R），∴直线的方程为y=
y=0的距离
x，即x﹣
y=0． =1．
∴圆心（2，0）到直线x﹣
故答案为：1．
点评： 正确化极坐标方程为普通方程及会利用点到直线的距离公式是解题的关键．
【几何证明选讲】
15．如图，点B在⊙O上，M为直径AC上一点，BM的延长线交⊙O于N，∠BNA=45°，若⊙O的半径为2，OA=OM，则MN的长为2．
考点： 与圆有关的比例线段． 专题： 计算题；压轴题．
分析： 根据圆心角AOB和圆周角ANB对应着相同的一段弧，得到角AOB是一个直角，根据所给的半径的长度和OA，OM之间的关系，求出OM的长和BM的长，根据圆的相交弦定理做出结果．
解答： 解：∵∠BNA=45°，圆心角AOB和圆周角ANB对应着相同的一段弧， ∴∠AOB=90°，
∵⊙O的半径为2，OA=OM， ∴OM=2，
在直角三角形中BM==4， ∴根据圆内两条相交弦定理 有4MN=（2∴MN=2，
+2）（2﹣2），
- 12 -
故答案为：2
点评： 本题考查和圆有关的比例线段，考查圆的相交弦定理和直角三角形的勾股定理，本题是一个非常好的题目，考查的知识点比较全面，没有易错点．
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（12分）已知向量=（
sinx，cisx），=（cosx，cosx），设函数f（x）=?．
（Ⅰ）求函数f（x）单调增区间； （Ⅱ）若x∈[﹣
，
]，求函数f（x）的最值，并指出f（x）取得最值时x的取值．
考点： 平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象． 专题： 三角函数的图像与性质；平面向量及应用．
分析： （Ⅰ）利用向量的数量积求出f（x）的解析式，再利用三角函数的图象与性质求出单调区间；
（Ⅱ）由三角函数的图象与性质，结合区间x∈[﹣x的值．
解答： 解：（Ⅰ）∵=当即即
，k∈Z， ，k∈Z，
，k∈Z时，函数f（x）单调递增，
，（k∈Z）；
，
]，求函数f（x）的最值以及对应
∴函数f（x）的单调递增区间是（Ⅱ）∵f（x）=sin（2x+当∴∴当∴当
时，
， ）+，
，
时，f（x）取得最小值0，此时2x+时，f（x）取得最大值，此时2x+
=
=﹣，∴
，∴
．
，
点评： 本题考查了平面向量的数量积的应用问题，三角函数的恒等变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，是综合题．
- 13 -
17．（12分）某小区在一次对20岁以上居民节能意识的问卷调查中，随机抽取了100份问卷进行统计，得到相关的数据如下表： 节能意识弱 节能意识强总计 20至50岁45 9 54 大于50岁 10 36 46 总计 55 45 100
（1）由表中数据直观分析，节能意识强弱是否与人的年龄有关？
（2）据了解到，全小区节能意识强的人共有350人，估计这350人中，年龄大于50岁的有多少人？
（3）按年龄分层抽样，从节能意识强的居民中抽5人，再从这5人中任取2人，求恰有1人年龄在20至50岁的概率．
考点： 用样本的频率分布估计总体分布；分层抽样方法；等可能事件的概率． 专题： 应用题．
分析： （1）利用独立性检验的基本思想，只要在每个年龄段计算它们节能意识强的概率，若差距较大说明与年龄有关，也可利用|ad﹣bc|的值的大小来直观判断；
（2）先利用统计数据计算在节能意识强的人中，年龄大于50岁的概率，再由总体乘以概率即可得总体中年龄大于50岁的有多少人；
（3）先确定抽样比，即每层中应抽取，故再抽到的5人中，一人年龄小于50，4人年龄大于50，从中取两个，求恰有1人年龄在20至50岁的概率为古典概型，利用古典概型的概率计算公式，分别利用列举法计数即可得所求概率
解答： 解（1）因为20至50岁的54人有9人节能意识强，大于50岁的46人有36人节能意识强，
与
相差较大，所以节能意识强弱与年龄有关
（2）由数据可估计在节能意识强的人中，年龄大于50岁的概率约为∴年龄大于50岁的约有
（人）
（3）抽取节能意识强的5人中，年龄在20至50岁的（人），
年龄大于50岁的5﹣1=4人，记这5人分别为a，B1，B2，B3，B4．
从这5人中任取2人，共有10种不同取法：（a，B1），（a，B2），（a，B3），（a，B4），（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B2，B3），（B2，B4），（B3，B4），
设A表示随机事件“这5人中任取2人，恰有1人年龄在20至50岁”， 则A中的基本事件有4种：（a，B1），（a，B2），（a，B3），（a，B4） 故所求概率为
点评： 本题主要考查了独立性检验的基本思想，对统计数据的理解和应用，古典概型概率的计算方法，列举法计数的方法，分层抽样的定义和运用，属基础题 18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，AB=2，∠BAD=60°． （1）求证：OM∥平面PAB；
- 14 -
（2）求证：平面PBD⊥平面PAC； （3）当四棱锥P﹣ABCD的体积等于
时，求PB的长．
考点： 平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定． 专题： 综合题；空间位置关系与距离．
分析： （1）利用三角形中位线的性质，证明线线平行，从而可得线面平行； （2）先证明BD⊥平面PAC，即可证明平面PBD⊥平面PAC；
（3）利用四棱锥P﹣ABCD的体积等于时，求出四棱锥P﹣ABCD的高为PA，利用PA⊥AB，即可求PB的长．
解答： （1）证明：∵在△PBD中，O、M分别是BD、PD的中点，∴OM是△PBD的中位线，∴OM∥PB，…（1分）
∵OM?平面PAB，PB?平面PAB，…（3分） ∴OM∥平面PAB．…（4分）
（2）证明：∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，…（5分） ∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA．…（6分）
∵AC?平面PAC，PA?平面PAC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，…（8分） ∵BD?平面PBD，
∴平面PBD⊥平面PAC．…（10分）
（3）解：∵底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°， ∴菱形ABCD的面积为
∵四棱锥P﹣ABCD的高为PA，∴
，得
…（12分）
，…（11分）
∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB．…（13分） 在Rt△PAB中，
．…（14分）
- 15 -