《函数的值域》教案
教学目的：
1．掌握求函数值域的基本方法（直接法、换元法、判别式法）；掌握二次函数值域（最值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法. 2．培养观察分析、抽象概括能力和归纳总结能力； 教学重点：值域的求法 教学难点：二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：
一、复习引入：
函数的三要素是：定义域、值域和定义域到值域的对应法则；对应法则是函数的核心(它规定了x和y之间的某种关系)，定义域是函数的重要组成部分（对应法则相同而定义域不同的映射就是两个不同的函数）；定义域和对应法则一经确定，值域就随之确定 函数的表示方法⑴解析法优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.
⑵列表法优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.
⑶图象法：优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质.
前面我们已经学习了函数定义域的求法和函数的表示法，今天我们来学习求函数值域的几种常见方法 二、讲解新课：
1．直接法：利用常见函数的值域来求 一次函数y=ax+b(a?0)的定义域为R，值域为R； 反比例函数y?k(k?0)的定义域为{x|x?0}，值域为{y|y?0}； x二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)的定义域为R，
22当a>0时，值域为{y|y?(4ac?b)}；当a<0时，值域为{y|y?(4ac?b)}.
4a4a例1．求下列函数的值域
① y=3x+2(-1?x?1) ②f(x)?2?4?x ③y?x1 ④y?x? x?1x解：①∵-1?x?1，∴-3?3x?3，
∴-1?3x+2?5，即-1?y?5，∴值域是[-1，5] ②∵4?x?[0,??) ∴f(x)?[2,??) 即函数f(x)?2?4?x的值域是 { y| y?2} ③y? ∵
xx?1?11 ??1?x?1x?1x?11?0 ∴y?1 x?1 即函数的值域是 { y| y?R且y?1}（此法亦称分离常数法） ④当x>0，∴y?x?121)?2?2， =(x?xx121)?2??2 )=－(?x??x?x当x<0时，y??(?x?∴值域是(??,?2]?[2，+?).（此法也称为配方法） 函数y?x?1的图像为： x432．二次函数比区间上的值域(最值)： 例2 求下列函数的最大值、最小值与①y?x?4x?1； ②y?x2?4x?1,x?[3,4]；
2-612f?x? = x+x-1o21-4-2-1-2-3y=x1-2246值域：
-4③y?x2?4x?1,x?[0,1]； ④y?x2?4x?1,x?[0,5]；
解：∵y?x2?4x?1?(x?2)2?3，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，
∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y?-3 }. ②∵顶点横坐标2?[3,4]， 当x=3时，y= -2；x=4时，y=1；
∴在[3,4]上，ymin=-2，ymax=1；值域为[-2，1].
③∵顶点横坐标2? [0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,
y321-2-1O-1-2-3123456x∴在[0,1]上，ymin=-2，ymax=1；值域为[-2，1].
④∵顶点横坐标2? [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6, ∴在[0,1]上，ymin=-3，ymax=6；值域为[-3，6]. 注：对于二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0), ⑴若定义域为R时， ①当a>0时，则当x??②当a<0时，则当x??2b时，其最小值ymin?(4ac?b)； 2a4a2b时，其最大值ymax?(4ac?b). 2a4a⑵若定义域为x? [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].
①若x0?[a,b],则f(x0)是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较f(a),f(b)的大小决定函数的最大（小）值.
②若x0?[a,b],则[a,b]是在f(x)的单调区间内，只需比较f(a),f(b)的大小即可决定函数的最大（小）值.
注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；
②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论. 3．判别式法（△法）：
判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论 x2?5x?6例3．求函数y?2的值域
x?x?6方法一：去分母得 (y?1)x+(y+5)x?6y?6=0 ① 当 y?1时 ∵x?R ∴△=(y+5)+4(y?1)×6(y+1)?0 由此得 (5y+1)?0 2221?51检验 y?? 时 x??5?2（代入①求根）
562?(?)5?