快？
（b）现在让我们看平蓬的生产可能性。我们将画一幅图，水平轴表示每单位的有效劳动（k），纵轴为每单位有效劳动的产出（y）。下面是关于y和k的“生产函数”的描述。只要k在0和3之间，产出由式y=（1/2）x给出。k大于3时，k每单位的增加仅导致y的增加量为1/7，直到k等于10。此后，增加单位的k只导致y的增加量为1/10。（为了画这幅图，y轴的度时单位应当比k轴的度量单位大。否则，画出的线看上去太平了）。在图上，画出这个生产函数。资本产出率为2、6、12时该图是怎样的？注意在y=6、12的情况下的答案不同于在边际时所发生的情形（当你增加一单位的资本时）。想一想这为什么会发生。
（c）现在假设平蓬储蓄其产出的20%，资本存量是持久的，不存在折旧。现在请你给出k（t+1）与k（t）的关系。在你的表达式中注意两件事情：（i）将所有的百分率转化为小数（如将3%变为0.03），（ii）记住资本一产出率依赖于将要得到的k（t）值，所以你将使用符号θ代表资本一产出率，一旦你知道了k（t）值，就可用适当的数来代替（正如下面的问题）。
（d）现在，使用计算器计算在时期tk（t）=3时，k（t+1）的值。同样地计算k（t）=10时，k（t+1）的值。从这些结果你是否能够猜出从长远看平蓬的k值将维持在什么水平？
（e）计逄平蓬最终的k值（提示：你可以用不同的值试算，更快的，可以建立一个方程来计算）。
－
15．考虑具有生产函数Y（t）=A·K（t）aL（t）1a的索罗模型，其中A是固定的技术参数。解出稳定状态下的人均资本存量和人均收入值。这些值是如何随着下列参数的上升而改变的？（a）技术参数A，（b）储蓄率s，（c）a，（d）折旧率δ，（e）人口增长率n。
16．（a）考虑索罗模型，展示储蓄率和折旧率对人均收入和总收入只有水平效应，人口增长对人均收入的效应如何？
（b）回忆哈罗德--多马模型，这些参数对收入有何影响？ 17．讨论下列的诊断是正是误。
（a）哈罗德--多马模型断言，一个国家的人均增长率依赖于其储蓄率，但索罗模型的结论并非如此。
（b）根据哈罗德--多马模型，如果一个国家的资本—产出比率较高，则这个国家增长较快。
（c）为了理解世界经济是否存在收敛，我们必须研究那些现在已经富裕的国家。 （d）中等收入的国家比穷的和富的国家更可能改变他们在世界排名中所处的位置。
（e）在索罗模型中，人口增长率的改变对最终的人均增长率没有影响。
（f）在索罗模型中，人均产出随着人均资本的上升而下降，其原因是收益递减律。
18．考虑内在人口增长模型。假设描述人口增长率的曲线比描述总收入增长的曲
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线低。解释这种现象，并描述某一经济从较低的初始人均收入起始，其人均增长率将会怎样变化？
19．给出两个原因，为什么一个具有较低的资本--劳动比率的国家比那些具有较高的资本--劳动比率的国家增长更快，也给出发生相反情况的两个原因。
20．考虑两种人力资本积累——教育和在职培训——并想一下哪些因素对这两个方面可能有促进作用。在教育领域，往往是初级与高等教育的区别。考虑一下你在下面的社会中会期望发现什么。
（a）那些个人一般要照顾其年老父母的社会与那些父母一般不期望从其子女处获得经济回报的社会相比较。
（b）那些由自由市场提供教育的社会与那些国家负责提供教育的社会相比较。 （c）那些大部分人口在农村，而且一般而言，使用家庭劳动力进行农业生产的社会。
（d）那些雇主一般无法与其雇员签订长期合同的社会。
（e）那些受到高等教育的个人可以轻易移民，而教育又往往需要贷款的社会。 21．思考一下人力资源与经济增长的模型。这个模型的一个有用特征，是它可以同时解释在发展中国家物质资本回报率以及非熟练工人的工资率可能都较低。但这个论点也有一个问题。
（a）使用一个有三种而非两种投入的柯布一道格拉斯模型，证明这个模型预测了人力资本回报率在发展中国家必然较高。通过比较发达国家与发展中国家的行政管理人员，医生，律师，教师等的工资解释一下为什么这可能会是一个问题。
（b）把（a）部分中的柯布--道格拉斯模型的设定改变一下，允许发展中国家与发达国家之间有技术差别，现在可能产生以下的情况：即每一种收入的回报在发展中国家均较低（相对而言）哪一种投入可能有更低的回报？
（c）提供一些论点，说明为什么发展中国家与发达国家会存在系统性的技术差别？如果技术蓝本已广为所知，为什么不能马上进行模仿？
22．由发达国家向发展中国家进行的资本流动可能采取下面两种形式中的一种。发达国家的企业家或公司可能在发展中国家建立工厂：我们可把它认为是外商直接投资；或者资本可能以贷款或 持有发展中国家股票的形式流动：这是非直接投资。思考一下可能影响每种投资的各种因素。
23．假设生产取决于三种投入：土地、资本和劳动，假设总土地数量是给定的并且无法改变；假设两个国家有相同的生产函数，人口增长及储蓄率，但土地数量不同。解释一下你将如何检验有条件趋同是否存在。
24．区别两种形式的技术进步，一处是体现于新产品或机器中的技术进步，另一种则无法体现这种进步：用完全相同的投入，但生产的方法有改进。讨论一下每种技术进步的例子，并分析（在两个方向上）哪些力量会影响这些技术进步向发展中国家的扩散速度。
25．假设新技术知识先抵达发达世界，然后才会向发展中国家扩散。那么，那些在世界收入等级上落后更多的国家将可以获得更多的新的（尚未被采纳的）技术，这
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会使这些国家比更发达的国家经济增长得更快吗？这是一条趋同（毕竟，这些国家需要更多投资于新知识的生产）路径吗？讨论一下。
26．专利保护给技术的发明者创造了暂时的垄断力，允许他们从专利中获得一些回报。但专利保护也降低工了技术扩散到竞争者的速度，从而降低了创新的竞争激励，把这两个效果相对比，并讨论随专利保护外生增加时，它们的相对作用大小的变化。
27．这里有一种方式可以帮助我们看到为什么生产中更大的投入变化与技术进步相似。假设产出Y是由n种不同的机器X1、X2、……Xn生产的，没有一种机器在生产中是必需的，各种机器均有递减的回报，但整个生产过程表现出规模报酬不变。一种抓住这个特点的方式是使用以下生产函数
Y = （Xa1+Xa2…+ Xan）1/a， 其中a介于0和1之间。
（a）证明如果所有机器投入均以相同比例上升，那么产出也将增加同样的比例，这意味着生产中的规模报酬不变。
（b）证明如果至少有两种不同机器投入，那么每种投入均存在递减的报酬。 （c）现在假设每台机器在制造方面有一个新的蓝本，但一旦蓝本已知，B单位的任何机器可以用一单位“资本”（用与最终产出的相间的单位来度量）生产。证明，如果存在一个给定的数量K，它应当被用于生产同样数量的各种机器才能最大化生产中的最终产出。
（d）证明对于给定的机器数目（即给定n）生产函数可以被写作总“资本”的函数形式
1－a
Y=n –––––– BK a
（e）现在使用这个表达式，证明机器生产的生产力改进与可用机器种类增加与技术进步相似，为什么机器种类增长与总的生产力上升相似呢？请提供经济学的直觉。
28．奇妙国的经济使用资本（K）和劳动（L）生产一种化妆品。总产出每年增长5%，每单位资本租金为0.1瓶该产品。物质资本--产出比率为3：1，资本存量和人口分别以2%和3%的速度增长，假设每个人都工作。
（a）如果所有产出均用于支付工资和租金，计算资本与劳动在国民收入中的份额。
（b）估计技术进步率（或TEP增长）
（c）假设投入加倍之后，产出增加2.5倍，这会如何影响（b）部分的结果？ （d）假设资本所有者拥有其发明专利，资本租金反映了资本租赁的垄断价格，这会如何影响前面的回答中所使用的增长计量方法？
（e）假设在任何时期只有一半人从事工作，这将如何影响你的回答？如果这个比例随时间增长，你的估计又会发生什么变化？
29．假设在一个地区刚刚出现了传真机，公司正在决定是否安装一个传真机，这个决定部分取决于本公司预期有多少其他公司也会安装传真机。试着画一个图来描述
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装传真机的公司的数目会如何随着预期装传真机公司数目的变化而变化。
（a）如果采用传真机存在着互补性，请描述这个图的形状。
（b）现在假设即使在该地区预期没有其它公司会安装传真机，但仍有A个公司会安装传真 机（由于和外部世界交流的需要）。如果有x个公司预期安装，那么还会有另外的（x2）/1000（超过A）个公司将会安装传真机。这会导致最多由一百万个公司安装（也是该地区所有公司的总数）。就这个关系画出一幅图。
（c）把A作为该地区与外界的联系强度分析一下随着A的变化该地区采用传真机的均衡数目的变化。特别注意多重均衡存在的可能性。A取那一个值的时候会有一个惟一的均衡
存在？并对你的回答提出一些经济学的直觉。
30．互补性可能会在多种情况下出现，这里有一个避税方面的例子。假设一国中N个公民每人每年要向政府支出价格为T的税收，每个公民可能决定支付或逃避税收，如果抓住了一个逃税者，该国法律会惩罚他，并要求交纳大小为F的罚款，其中F>T。但是政府的监督并不完善，因为在发现逃税者方面，政府只有有限的资源。假设那些逃税者中，政府只能抓住一个，而这个人也是随机选择的。由此，如果有n个人决定逃税，每个人有1/n的概率被抓住。在后面，我们假设每个人只计算每个策略中的预期损失，并选择预期损失最低的策略。
（a）如果避税者数目为m，证明平均（预期）损失为F/m，将此与一旦被抓住的必然损失T对比。
（b）为什么这种情况像一个协作博弈？描述一下一个公民的行为所产生的互补性。
（c）证明社会中没有一个人避税也是一种均衡。还有没有其他的均衡？找到那个均衡，并描述什么时候它会存在。
31．考虑一个假想的经济，其中每个工人必须决定是否获得教育并成为熟练劳动力，或继续当非熟练劳动力。教育成本为C，设IH和IL分别指代熟练与非熟练劳力的收入。这些收入被定义为IH=（1+θ）H，IL=（1+θ）L，其中H和L为常数（H>L），θ为人口中决定成为熟练劳力的比例。这样就表明一个人的生产力不仅与其自身技能相关，也与其同事的技能相关。假设所有个人同时选择是否成为熟练工人。
（a）解释一下为什么这像一个协作博弈，互补性在哪里？ （b）证明如果H-L （c）稍微改变一下前面的例子，假设低技能职业的回报现在为IL=（1+λθ）L，其中λ为某个常数，而高技能回报仍与前面一样。证明如果λ足够高，则只有一种均衡存在。 （d）解释一下，为什么在第一种情况下存在多重均衡，而第二种情况下却不会 59 如此。 （e）考虑另外一种变化，不同职业中所获收入与经济中高技能者的数目无关。具体说，IH =H，IL=L。但是教育成本是可变的，而且给定C（θ）=（1-θ）/θ（即如果你周围有更多受教育的人，你的学习也容易些）。再一次证明也存在三个可能的均衡，并对它们进行描述。 32．下面是关于协作问题的一些其他的例子。对它们进行讨论，并思考还有那些情况可以用同样的方式来建立模型。 （a）国际债务：假设一个国家考虑向其贷款国赖账。如果出现赖账，贷款国可能会停止与赖帐国的贸易，即使该行动对于贷款国本身也有很高的成本。因此，如果潜在的赖账国越多，贷款国“惩罚”赖账者的难度越大。证明在这种情况下，不同赖账国之间存在一个协作问题，并精确地描述在借款国之间存在的互补性。 （b）股票市场投资：假设如果没有任何人会由于恐慌而抛售股票，那么股票会有高出市场平均利润的回报。现在想像一下，对于每个由于恐慌而抛售股票的人，股票的回报率下降。证明这是一个协作问题，同时描述可能存在的均衡。 （c）城市：可以把城市的出现作为协作博弈的结果。在这种情况下，多重均衡意味着什么？回答这个问题时，不妨考虑一下某些特定行业在特定地区集中：比如硅谷中的计算机公司。 33．假设你是一个发展中国家中对某个不发达工业部门进行计划的官员。你希望能够创造一种企业家投资并促进该部门增长的大气候。经过很多调查后，你意识到你面临着下面的基本问题。我会用一系列的例子来说明这一点。 没有人愿意投资于煤炭工业，这是因为铁路产业不发达，所以对煤没有需求，而且也没有任何工厂烧煤。而之所以没有人愿意投资于铁路建设，是因为他们害怕其他人不会使用铁路运输产品（目前可以运输的产品很少）。他们也害怕修好铁路以后，没有煤作为铁路运输的燃料。由于缺乏铁路系统，所以没有人希望开发那些需要交通运输才能销售的新产品。这里的问题与煤和铁矿砂生产的问题十分相似。由于没有钢铁工业，所以没有人大规模开采铁矿砂。此外，也没有企业愿意生产好的采矿设备。不妨与投资者谈一谈，你会发现只有采矿工业存在，并需要采矿设备时，投资者才会愿意生产设备，但目前，采矿工业并不存在。当然，钢铁产业潜在的投资者也会告诉你，他们没有办法找到那些能够向他们出售铁矿的企业等等。 你意识到，现在面临着两个问题。第一个问题有点像“鸡和蛋”的问题：产业A需要产业B；反之亦然。在另一个产业行动之前，你不愿意首先行动。第二个问题是产业间联系的问题：有一系列产业，每一个产业和需求该产业产品的部门有前向联系，和生产该产业投入品的部门有后向联系。 （a）通过考虑我所举出的这些例子，并思考一些其他的例子，画出一些图来表明所存在的这些问题。 （b）你将向政府建议经营其中的一些产业（由于政府的资金有限，所以政府不可能全部包办）。在你所画的图中，你认为政府应当介入哪些产业？ （c）“一个领导性部门是经济中能够激活其他许多部门发展的特定部门。”运用 60