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限时集训（六）平面向量
基础过关
1.已知a,b为非零向量,则“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件 2.在△ABC中,若A.+B.-=4+,则
= ( )
-
C.- D.-+
3.已知向量a=(1,1),b=(-1,2),若(a-b)∥(2a+tb),则t= ( ) A.0 B.
C.-2 D.-3 4.已知||=3,| ( ) A. B.
C. D.
5.如图X6-1所示,四边形ABCD是边长为2的菱形,已知∠BAD=60°,E,F分别为BC,CD的中点,则·
|=2,=(m-n)+(2n-m-1),若与的夹角为60°,且⊥,则实数的值为
=( )
图X6-1
A. B.- C. D.-
6.已知平面向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|=1,若a·b=,则(a+b)·(2b-c)的最小值为 ( ) A.-2 B.3- C.-1 D.0
7.已知向量a,b满足|a-b|=3且b=(0,-1),若向量a在向量b方向上的投影为-2,则|a|= ( ) A.2 C.4
B.2 D.12
8.在正方形ABCD中,点E为BC的中点,若点F满足A. B.
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=λ,且·=0,则λ= ( )
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C. D.
9.已知向量a,b满足|a|=2,a·(b-a)=-3,则向量b在a方向上的投影为 . 10.已知向量a=(1,0),b=(1,1),若(a+λb)⊥b(λ为实数),则|a+λb|= . 11.已知单位向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则a与b-a的夹角为 . 12.如图X6-2所示,已知在△ABC中,λ+μ= .
=,=,BE交AD于点F,若=λ+μ,则
图X6-2
能力提升
13.在△ABC中,A=120°,A. B.
·
=-3,点G是△ABC的重心,则||的最小值是 ( )
C. D.
14.已知在△ABC中,A=120°,且AB=3,AC=4,若A.
B.
=λ+,且⊥,则实数λ的值为 ( )
C.6 D.15.已知△ABC中一点O满足||=||=||,AB的长度为1,M为BC边的中点,直线OM交AC于点D,若·=3,则AC的长度为 .
16.已知在△ABC中,AB=,BC=2AC=2,则满足|-t|≤||的实数t的取值范围是 .
限时集训(六) 基础过关 1.B [解析] ∵a·b>0等价于a,b的夹角是锐角或0°,∴“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件,故选B.
2.C [解析] 由题意得+=4=4(+),解得=-,故选C. 3.C [解析] 由题意得,a-b=(2,-1),2a+tb=(2-t,2+2t).
因为(a-b)∥(2a+tb),所以2(2+2t)=-(2-t),所以t=-2.故选C. 4.A [解析] ∵=(m-n)+(2n-m-1),
∴=(m-n)+(2n-m-1)+=(m-n)+(2n-m).∵与的夹角为60°,∴·=||·|60°=3.∵⊥,
∴·=[(m-n)+(2n-m)]·(-)=(2m-3n)·-(m-n)||2+(2n-m)||2=8n-7m=0,
|cos
∴=.故选A.
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5.D [解析] ∵菱形ABCD的边长为2,∠BAD=60°,∴·=||·|·(
|·cos∠BAD=2×2cos 60°=2.又-)=∵×=+=+,==(-),∴·=+·-=×4+×2-4=-.故选D.
,c=(cos θ,sin θ),
6.B [解析] 由a·b=,得
=3-sin,所以当sin=1时,取得最
小值,所以最小值为3-,故选B.2 222
7.A [解析] 由|a-b|=3,得|a-b|=(a-b)=a-2a·b+b=9, 所以a·b=-==.
=,
因为向量a在向量b方向上的投影为-2,所以
2
即|a|=4,所以|a|=2,故选A.
8.A [解析] 方法一:∵E为BC的中点,=λ
=-2,
∴∵∴···
=(=0,
+)·(+)=+·(+λ)=·(+λ+λ)=0.
=(λ-1)||2+||2=0,即λ-1=-,∴λ=.
=λ
=(2λ,2λ),
方法二:如图所示,以A为原点,建立平面直角坐标系,设B(2,0),则C(2,2),E(2,1),∴则F(2λ,2λ),∴=(2λ-2,2λ).∵=(2,1),
∴·=(2,1)·(2λ-2,2λ)=6λ-4=0,解得λ=.
9. [解析] 由a·(b-a)=-3,得a·b-a=-3,∴a·b=1,故b在a方向上的投影为10.2
=.
[解析] ∵(a+λb)⊥b,∴(a+λb)·b=0,
∴a·b+λb2=0,即1+2λ=0,解得λ=-, ∴a+λb=a-b=∴|a+λb|=. ,
11. [解析] 设a与b-a的夹角为θ. ∵|a+b|=|a-b|,
∴|a+b|2=|a-b|2,即|a|2+2a·b+|b|2=|a|2-2a·b+|b|2,∴a·b=0. ∵a,b为单位向量,
∴(b-a)2=b2-2b·a+a2=2,即|b-a|=.
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