若力学量F (x, y, z)仅与坐标有关，则其平均值为 F(r)??????2F(r)?(r)d?
若? (x, y, z)不是归一化的，则上式表为
? F(r)???2??F(r)?(r,t)d??? (6) 2??(r,t)d???x?Axe例1：一维运动的粒子处在 ?(x)???0x?0x?0
的状态，其中??0，求
①归一化的波函数；②几率密度?(x,t)；③在何处找到粒子的几率最大？④x、x2的值。 [提示：?xe0?n?axdx??n!a2n?1，其中a > 0]
解：①、?|?|dx?????0|A|xe22?2?xdx?|A|2??0xe2?2?xdx，
2 ?|A|322!(2?)3?|A|3?3?1
取A为实数， ∴A?2?22；
x?0x?0?4?3x2e?2?x② ??|?|???0；
③ 令
d?dx?0，
8?3xe?2?x?8?4x2e?2?x?0 8?xe3?2?x(1??x)?0
14x1?0，x2?1?，x3??
d?dx22经验证，当x??时找到粒子的几率最大； （一般不采用
3!(2?)4?0的方法）
④ x?????x|?|dx?2??04?xe33?2?xdx?4?3?32?；
x?2、动量平均值
2????x|?|dx?22??04?xe34?2?xdx?4?34!(2?)5?3?2。
一维情况：令? (x)是归一化波函数，相应动量表象波函数为
21
c(px)?212???????(x)e?i?pxxdx
c(px)：粒子动量为px几率密度，则
px?二、力学量算符 ?x 1、动量算符p????pxc(px)dpx
2一维情况： px??????pxc(px)dpx????i*pxx2????c(px)pxc(px)dpx
*????[12???*?(x)ei?dx]pxc(px)dpx
?12??12??*????(x)epxxpxc(px)dxdpx
i????*(x)(?i?ddx)e?pxxc(px)dxdpx
i??dx?(x)(?i?*ddx)[12????epxxc(px)dx]
???(x)(?i?*ddx)?(x)dx
?x?(x)dx ???(x)p体系状态用坐标表象中的波函数? (x)描写时，坐标x的算符就是其自身，即 ??x x说明力学量在自身表象中的算符形式最简单。而动量px在坐标表象（非自身表象）中的形式必须改造成动量算符形式： ?x??i? pddx
????r三维情况： r
?d?d?d??p??i?(i?j?k)??i?? dxdydz??????ey?ez （直角坐标系中） 称为劈形算符或Harrington ?x?y?z?其中 ??ex 22
或 ??er?1??1??（球坐标系中） ?e??e??rr??rsin????由归一化波函数? (x)求力学量平均值时，必须把该力学量的算符夹在?* (x)和? (x)之间对全空间积分，即
x?px??????????(x)x?(x)dx
?x?(x)dx ?(x)p***A???????(x)dx A是任一力学量算符 ?(x)A三维情况：
??*?x???(r)x?(r)dr ??*??x?(r)dr px???(r)p??*??A???(r)A?(r)dr A是任一力学量算符
若波函数未归一化, 则
A????(r)A?(r)dr*?????(r)?(r)dr*???
2、力学量的算符表示
?由经典如果量子力学中的力学量F在经典力学中有相应的力学量，那么表示这个力学量的算符F??????????i??而得出。即 ??r表示式F(r,p)中的r、p分别换成算符r，p????(r,?i??) F(r,p)?F 力学量 （经典表达式）
?r
算符
（量子力学中相应的算符）
??????r?r?xi?yj?zk
? ?
?p
????????p??i????i?(i?j?k) ?x?y?z????(r?(r?)?FF,p,?i??)
??F(r,p)
?
这是量子力学中的一个基本假设。大量实验事实表明，以上的假定是正确的，按照这个构成法则，可以得到以下几个常用的力学量算符： (1)、动能算符
2?2p1?2??所以动量算符T?在经典力学中，T??(?i??)(?i??)???
2m2m2m2mp2 23
????2?22?x??22?y?2??22?z （直角坐标系中） 称为Laplace算符
或 ???22?r?1r2??2??1(rsin?)?2?22??（球坐标系中）
??(r)dr T???*(r)T?(2)、Hamilton算符 在势场中V(r)的粒子
?? V?V(r)?V??V(r)
???2??T??V?(r)????V(r) H?T?U?H2m2?????????????????i?r???l?xex?l?yey?l?zez (3)、角动量算符 l?r?p?lxex?lyey?lzez?l?r?p l???(r)l??(r)dr
*????? l?x?ex?xp?eyy?yp?ez????z?zp?y)ex?(zp?x?xp?z)ey?(xp?y?yp?x)ez z?(yp?zp??l在直角笛卡尔坐标中的三个分量可表示为 ?z?zp?y??i?(y l?x?yp??z?z??y)
?x?xp?z??i?(z l?y?zp?y?yp?x??i?(x l?z?xp??x??y?x??z?)
?y?x)
§4 薛定谔方程
一、引进薛定谔方程的基本考虑
1．波函数所满足的方程只能含?对时间的一阶导数。 2．方程应是线性的。
3．第三方面，方程不能包含状态参量，如p, E等， 二、自由粒子波函数所满足的方程
描写自由粒子波函数:
?(r,t)?Aexp[ ?p(p?r?Et)]
?i??? 24
将上式对对时间求一次微商，可得
???t?p??i??， E?p即 i?2???t?p? (1) ?E?p将Ψ对坐标二次微商，得：
???y2???x2?p??px?22? ?p2同理有：
?p2??py?22? ?p2
2???z?p2?p??2pz??p2? ?p???x22????y2????z22?p??1?2? (px?py?pz)?p222???p??1?2? 或 ?p?p2?22m??2?p?p2? (2) ?p2m(1)- (2)式
(i???tp2??22m?)?2?p?(E?p2? )?p2m对自由粒子 E?2m
所以 i???t??p???2? (3) ?p2m满足上述构造方程的三个条件。方程(3)就是我们所要找的自由粒子波函数所满足的微分方程，它满足前面所述的条件。
讨论：通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出，如果能量关系式E?p22?写成如下方程形式：
(E?p22?)??p?0
E?i???t
?????i?? (4) p?p?2??2???2?2 p?p
25