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三角变换与解三角形
一、三角变换与求值
例1、
分析:对三角函数式化简的目标是: (1)次数尽可能低; (2)角尽可能少;
(3)三角函数名称尽可能统一; (4)项数尽可能少。 观察欲化简的式子发现:
(1)次数为2(有降次的可能); (2)涉及的角有α、β、2α、2β,(需要把2α化为α,2β化为β); (3)函数名称为正弦、余弦(可以利用平方关系进行名称的统一); (4)共有3项(需要减少),由于侧重角度不同,出发点不同,本题化简方法不止一种。 解法一:
解法二:(从“名”入手,异名化同名)
解法三:(从“幂”入手,利用降幂公式先降次) ?1?cos2??cos2? 22 解法四:(从“形”入手,利用配方法,先对二次项配方) ?cos(???)?
?cos(???)?211sin2??sin2??cos2??cos2? 221??2cos2(???)?1? 2[注]在对三角式作变形时,以上四种方法,提供了四种变形的角度,这也是研究其他三角问题时经常要用的变形手法。
二、正弦定理、余弦定理的运用
例2、已知ΔABC的三个内角A、B.C成等差数列,其外接圆半径为1,且有sinA?sinC?(1)求A、B.C的大小;(2)求ΔABC的的面积。
解析:∵A+B+C=180°且2B=A+C,∴B=60°,A+C=120°,C=120°-A。
∵sinA?sinC?22cos(A?C)?。2222cos(A?C)?, 22最新最全精品教育资料
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∴
1322, sinA?cosA?[1?2sin2(A?600)]=