高中数学导数练习试题
又因为
f(x)，g(x)在点（t，0）处有相同的切线，所以f?(t)?g?(t).
而
f?(x)?3x2?a,g?(x)?2bx,所以3t2?a?2bt.
将a??t2代入上式得b?t. 因此c?ab??t3.故a??t2，b?t，c??t3.
（2）
y?f(x)?g(x)?x3?t2x?tx2?t3,y??3x2?2tx?t2?(3x?t)(x?t).
当
y??(3x?t)(x?t)?0时，函数y?f(x)?g(x)单调递减. y??0，若t?0,则?由
tt?x?t；若t?0,则t?x??. 33由题意，函数
y?f(x)?g(x)在（－1，3）上单调递减，则
ttt(?1,3)?(?,t)或(?1,3)?(t,?).所以t?3或??3.即t??9或t?3.
333又当?9?t?3时，函数y?f(x)?g(x)在（－1，3）上单调递减.
所以t的取值范围为(??,?9]?[3,??).
20. 解：（1）∵
f?x??x3?bx2?cx，∴f??x??3x2?2bx?c。从而
g(x)?f(x)?f?(x)?x3?bx2?cx?(3x2?2bx?c)＝x3?(b?3)x2?(c?2b)x?c是一
个奇函数，所以g(0)?0得c?0，由奇函数定义得b?3；
32（2）由（Ⅰ）知g(x)?x?6x，从而g?(x)?3x?6，由此可知， (??,?2)和(2,??)是函数g(x)是单调递增区间； (?2,2)是函数g(x)是单调递减区间；
g(x)在x??2时，g(x)在x?2时，取得极大值，极大值为42，取得极小值，极小值为?42。
21. 解：设长方体的宽为x（m），则长为2x (m)，高为
h?18?12x?4.5?3x(m)43???0＜x＜?.
2??故长方体的体积为
V?x??2x2?4.5?3x??9x2?6x3m3从而V?(x)令V'??3???0?x??
2???18x?18x2(4.5?3x)?18x(1?x).
?x??0，解得x?0（舍去）或x?1，因此x?1.
x?1时，V'?x??0；当1?x?3时，V'?x??0， 29 / 11
当0?高中数学导数练习试题
故在x?1处V?x?取得极大值，并且这个极大值就是V?x?的最大值。
?V'?x??9?12?6?13m3从而最大体积V??，此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.
3答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3m。 22. 解：（1）因为函数
11，，(1，3]内分别有一个极值点，所以f(x)?x3?ax2?bx在区间[?11)32f?(x)?x2?ax?b?0在[?11)，，(1，3]内分别有一个实根，
设两实根为x1，x2（x1?x2），则x2?x1?a2?4b，且0?x2?x1≤4．于是
，x2?3，且当x1??1即a??2，故b??3时等号成立．0?a2?4b≤4，0?a2?4b≤16，
a2?4b的最大值是16．
（2）解法一：由
f?(1)?1?a?b知f(x)在点(1，f(1))处的切线l的方程是
21y?f(1)?f?(1)(x?1)，即y?(1?a?b)x??a，
32因为切线l在点所以g(x)?A(1，f(x))处空过y?f(x)的图象，
21f(x)?[(1?a?b)x??a]在x?1两边附近的函数值异号，则
32x?1不是g(x)的极值点．
而g(x)1121?x3?ax2?bx?(1?a?b)x??a，且 3232g?(x)?x2?ax?b?(1?a?b)?x2?ax?a?1?(x?1)(x?1?a)．
若1??1?a，则x?1和x??1?a都是g(x)的极值点．
1??2，又由a2?4b?8，得b??1，故f(x)?x3?x2?x．
321解法二：同解法一得g(x)?f(x)?[(1?a?b)x??a]
3213a3?(x?1)[x2?(1?)x?(2?a)]． 322所以1??1?a，即a因为切线l在点
A(1，f(1))处穿过y?f(x)的图象，所以g(x)在x?1两边附近的函数值异号，于是
?1?m2）．
存在m1，m2（m1当m1?x?1时，g(x)?0，当1?x?m2时，g(x)?0；
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或当m1?x?1时，g(x)?0，当1?x?m2时，g(x)?0．
设h(x)3a??3a???x2??1??x??2??，则
2??2??当m1?x?1时，h(x)?0，当1?x?m2时，h(x)?0； ?x?1时，h(x)?0，当1?x?m2时，h(x)?0．
或当m1由h(1)?0知x?1是h(x)的一个极值点，则h(1)?2?1?1?所以a
3a?0， 21??2，又由a2?4b?8，得b??1，故f(x)?x3?x2?x．
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