(完整word版)高中数学导数练习试题

高中数学导数练习试题

又因为

f(x),g(x)在点(t,0)处有相同的切线,所以f?(t)?g?(t).

f?(x)?3x2?a,g?(x)?2bx,所以3t2?a?2bt.

将a??t2代入上式得b?t. 因此c?ab??t3.故a??t2,b?t,c??t3.

(2)

y?f(x)?g(x)?x3?t2x?tx2?t3,y??3x2?2tx?t2?(3x?t)(x?t).

y??(3x?t)(x?t)?0时,函数y?f(x)?g(x)单调递减. y??0,若t?0,则?由

tt?x?t;若t?0,则t?x??. 33由题意,函数

y?f(x)?g(x)在(-1,3)上单调递减,则

ttt(?1,3)?(?,t)或(?1,3)?(t,?).所以t?3或??3.即t??9或t?3.

333又当?9?t?3时,函数y?f(x)?g(x)在(-1,3)上单调递减.

所以t的取值范围为(??,?9]?[3,??).

20. 解:(1)∵

f?x??x3?bx2?cx,∴f??x??3x2?2bx?c。从而

g(x)?f(x)?f?(x)?x3?bx2?cx?(3x2?2bx?c)=x3?(b?3)x2?(c?2b)x?c是一

个奇函数,所以g(0)?0得c?0,由奇函数定义得b?3;

32(2)由(Ⅰ)知g(x)?x?6x,从而g?(x)?3x?6,由此可知, (??,?2)和(2,??)是函数g(x)是单调递增区间; (?2,2)是函数g(x)是单调递减区间;

g(x)在x??2时,g(x)在x?2时,取得极大值,极大值为42,取得极小值,极小值为?42。

21. 解:设长方体的宽为x(m),则长为2x (m),高为

h?18?12x?4.5?3x(m)43???0<x<?.

2??故长方体的体积为

V?x??2x2?4.5?3x??9x2?6x3m3从而V?(x)令V'??3???0?x??

2???18x?18x2(4.5?3x)?18x(1?x).

?x??0,解得x?0(舍去)或x?1,因此x?1.

x?1时,V'?x??0;当1?x?3时,V'?x??0, 29 / 11

当0?高中数学导数练习试题

故在x?1处V?x?取得极大值,并且这个极大值就是V?x?的最大值。

?V'?x??9?12?6?13m3从而最大体积V??,此时长方体的长为2 m,高为1.5 m.

3答:当长方体的长为2 m时,宽为1 m,高为1.5 m时,体积最大,最大体积为3m。 22. 解:(1)因为函数

11,,(1,3]内分别有一个极值点,所以f(x)?x3?ax2?bx在区间[?11)32f?(x)?x2?ax?b?0在[?11),,(1,3]内分别有一个实根,

设两实根为x1,x2(x1?x2),则x2?x1?a2?4b,且0?x2?x1≤4.于是

,x2?3,且当x1??1即a??2,故b??3时等号成立.0?a2?4b≤4,0?a2?4b≤16,

a2?4b的最大值是16.

(2)解法一:由

f?(1)?1?a?b知f(x)在点(1,f(1))处的切线l的方程是

21y?f(1)?f?(1)(x?1),即y?(1?a?b)x??a,

32因为切线l在点所以g(x)?A(1,f(x))处空过y?f(x)的图象,

21f(x)?[(1?a?b)x??a]在x?1两边附近的函数值异号,则

32x?1不是g(x)的极值点.

而g(x)1121?x3?ax2?bx?(1?a?b)x??a,且 3232g?(x)?x2?ax?b?(1?a?b)?x2?ax?a?1?(x?1)(x?1?a).

若1??1?a,则x?1和x??1?a都是g(x)的极值点.

1??2,又由a2?4b?8,得b??1,故f(x)?x3?x2?x.

321解法二:同解法一得g(x)?f(x)?[(1?a?b)x??a]

3213a3?(x?1)[x2?(1?)x?(2?a)]. 322所以1??1?a,即a因为切线l在点

A(1,f(1))处穿过y?f(x)的图象,所以g(x)在x?1两边附近的函数值异号,于是

?1?m2).

存在m1,m2(m1当m1?x?1时,g(x)?0,当1?x?m2时,g(x)?0;

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或当m1?x?1时,g(x)?0,当1?x?m2时,g(x)?0.

设h(x)3a??3a???x2??1??x??2??,则

2??2??当m1?x?1时,h(x)?0,当1?x?m2时,h(x)?0; ?x?1时,h(x)?0,当1?x?m2时,h(x)?0.

或当m1由h(1)?0知x?1是h(x)的一个极值点,则h(1)?2?1?1?所以a

3a?0, 21??2,又由a2?4b?8,得b??1,故f(x)?x3?x2?x.

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