正弦定理和余弦定理（解三角形）高三一轮复习专题
正弦定理和余弦定理专题讲义（约 3-4 课时） 一、高考要求
1、掌握正、余弦定理的基本形式和变形式； 2、能够完成三角形中边、角和面积的计算。
3、掌握边、角的范围探究问题和正、余弦定理的实际应用。 二、知识回顾（学生课前自学）
设△ABC 的三边为 a、b、c，对应的三个角为 A、B、C． 1．角与角关系：A+B+C = π，
2．边与边关系：a + b > c，b + c > a，c + a > b， a－b b． 3．边与角关系：
1）正弦定理 （R 为外接圆半径）
变式 1：a = 2R sinA，b= 2R sinB，c= 2R sinC 变式 2：变式 3：，， 2）余弦定理 b2+c2－2bccosA． 变式 1：；
4. 三角形面积公式：
（其中 r 为内切圆半径，R 为外接圆半径，s 为半周长） 5、关于三角形内角的常用三角恒等式：三角形内角定理的变形 ①由 A＋B＋C＝π，知 A＝π－（B＋C）可得出： sinA＝sin（B＋C），cosA＝－cos（B＋C）． ②而．有：，．三互动探究探究一正弦定理的应用
.；
. .
c2 = a2+b2－2bccosC，b2 = a2+c2－2accosB，a2 =
考点分析：①知两角及一边、解三角形. ②知两边及一边对角、解三角形. 方法点拨：针对考法②涉及到三角形解的判定、一般有三种情况：无解、 一解、两解；判定方法：方法 1【代数法】：大边对大角、内角和为、三角 函数值不能大于 1；
方法 2【几何法】：当为锐角时、①或时、一解；②时、两解；③时、无 解.当为直角或钝角时、①时、一解；②时、无解. 例如 1：在中、求其余的边和角.
例如 2： 在△ABC 中，已知 a=,b=,B=45°,求 A、C 和 c.
变式训练 1：(2009·广东高考)已知△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别 为 a，b，c.若 a＝c＝＋，且∠A＝75°，则 b＝ ( ) A．2
B．4＋2
C．4－2
D.－
变式训练 2：在锐角△ABC 中，BC＝1，B＝2A，则的值等于______，AC 的取值范围为________．
变式训练 3：3.下列判断中不正确的结论的序号是
①△ABC 中，a=7，b=14，A=30°,有两解；②△ABC 中， a=30,b=25,A=150°，有一解
③△ABC 中，a=6,b=9，A=45°，有两解；④△ABC 中，b=9,c=10,B=60°, 无解
答案：例 1：；例 2：A=60°,C=75°,c=或 A=120°,
C=15°,c=；变式 1：A；变式 2：：2 ， (，)；变式 3：①③④；探究二余 弦定理应用
考点分析：①知三边、解三角形. ②知两边及夹角、解三角形. 例如 3：（1）在三角形中，,则的大小为（ A．
B．
C．
） D．
.
（2）在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 所对的边，已知则 A ＝
.
变式训练 4：△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 b2+c2- a2+bc=0.
（1）求角 A 的大小；（2）若 a=，求 bc 的最大值；
答案：例 3：A、；变式 4：，1。探究三正、余弦定理的综合应用考点一判 定三角形形状
方法点拨：①知识要求：灵活应用正、余弦定理及和、差、半角公式；② 能力要求：统一成边的思想、或统一成角的思想和方程组思想.
例如 4：在△ABC 中，a、b、c 分别表示三个内角 A、B、C 的对边，如果 （a2+b2）sin（A-B）=
（a2-b2）sin（A+B），判断三角形的形状. 变式训练 5：在△ABC 中, ，则这个三角形一定是（ ） A．等腰三角形 腰或直角三角形
变式训练 6：.在△ABC 中，若(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且 sinC=2sinAcosB,则 △ABC 是
三角形.
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等
答案：例 4：△ABC 为等腰或直角三角形.变式 5：B；变式 6：等边三角 形；考点二三角形面积（注重方程组思想）
例如 5：(2009·浙江高考)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b， c，且满足 cos＝，·＝3.
(1) 求△ABC 的面积； (2)若 c＝1，求 a 的值．
变式训练 7：.在△ABC 中，AB＝，AC＝1，B＝，则△ABC 的面积等于 ( )
A.
B.
C.或
D.或