大学物理答案(上、下)(北京邮电大学第3版)

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解: 以脉冲星为S?系,?x??0,固有周期

?t???0.地球为S系,则有运动时1,这里1不是地球上某点观测到的周期,而是以地球为参考系的两异地钟读数之差.还要考虑因飞行

?t???t??tA以0.8c的速度相对地球向正东飞行,飞船B以0.6c

的速度相对地球向正西方向飞行.当两飞船即将相遇时A飞船在自己的天窗处相隔2s发射两颗信号弹.在B飞船的观测者测得两

3-14 飞船

颗信号弹相隔的时间间隔为多少?

解: 取B为S系,地球为S?系,自西向东为x(x?)轴正向,则

v?t1远离信号的传递时间,c

v?t1v???t????t则A对S系(B船)的速度为 cc∴ ′ vv?0.8c?0.6cx?u???t?(1?)v???0.946cxc uv?1?0.481?2x11c???

0.60.8c2?发射弹是从A的同一点发出,其时间间隔为固有时?t?2s, 1?()c

?t0.5?0??t???v0.8c?(1?)(1?)?cc则

0.50.3题3-14图 ???0.1666s11.8∴B中测得的时间间隔为: (1?0.8)0.6?t?2

?t???6.17s?v3-12 6000m 的高空大气层中产生了一个介子以速度=0.998c22v1?0.946飞向地球.假定该?介子在其自身静止系中的寿命等于其平均寿1?xc2 命2×10s.试分别从下面两个角度,即地球上的观测者和?介子

3-15 (1)火箭A和B分别以0.8c和0.6c的速度相对地球向+x静止系中观测者来判断?介子能否到达地球.

?6和-x方向飞行.试求由火箭B测得A的速度.(2)若火箭A相对?t?2?10s?0解: 介子在其自身静止系中的寿命是固有

地球以0.8c的速度向+y方向运动,火箭B的速度不变,求A相(本征)时间,对地球观测者,由于时间膨胀效应,其寿命延长了.衰

对B的速度. 变前经历的时间为

?t0 解: (1)如图a,取地球为S系,B为S?系,则S?相对S的速?5?t??3.16?10s2v?0.8c,则A相对v度u?0.6c,火箭A相对S的速度x1?2S?(B)的速度为: c

vx?u0.8c?(?0.6c)这段时间飞行距离为d?v?t?9470m

v????0.946cxu(?0.6c)(0.8c)d?6000m因,故该?介子能到达地球. 1?2vx1???vcc2或在介子静止系中,介子是静止的.地球则以速度接近介 ?td??v?t0?599m 或者取A为S?系,则u?0.8c,B相对S系的速度

子,在0时间内,地球接近的距离为

vx??0.6c,于是B相对A的速度为: d?6000m?t??t1?-6

Av??0.8c,S?系对S系的速度为u?0.6c,

对S?系的速度x0经洛仑兹收缩后的值为:

??d0d0?d??d0,故?v21?2?379mc

介子能到达地球.

3-13 设物体相对S′系沿x?轴正向以0.8c运动,如果S′系相对

S系沿x轴正向的速度也是0.8c,问物体相对S系的速度是多少?

vx?u?0.6c?0.8c???0.946cu(0.8c)(?0.6c)1?2vx1?cc2

(2)如图b,取地球为S系,火箭B为S?系,S?系相对S系沿?x方向运动,速度u??0.6c,A对S系的速度

v?x?为,

u?0.8c,v?x?0.8c 解: 根据速度合成定理,

vx?0,vy?0.8c,由洛仑兹变换式A相对B的速度为:

v??u0.8c?0.8cvx?x??0.98cuv?0.8c?0.8c1?2x1?c2c

16

v?x?vx?u0?(?0.6c)??0.6cu1?01?2vxc

72

u21?2vycv??1?0.62(0.8c)?0.64cy?u1?2vxc

∴A相对B的速度大小为

??0.88cv??v?x?v速度与x?轴的夹角??为

22y?9.1?10?31?(3?108)2(121?0.1?4.12?10?16J=2.57?103eV

?1)

(2)

??Ek?Ek?(m2c2?m0c2)?(m1c2?m0c2)?Ek21?m2c2?m1c2?m0c2()

11?vc222?11?vc212)tan???v?yv?x???46.8ο

?1.07

?9.1?10?31?32?1016(?5.14?10?143-18

1?子静止质量是电子静止质量的207倍,静止时的平均寿命

-6

-6

1?0.92J?3.21?105eV

?11?0.82题3-15图

3-16 静止在S系中的观测者测得一光子沿与x轴成60?角的方向飞行.另一观测者静止于S′系,S′系的x?轴与x轴一致,并以0.6c的速度沿x方向运动.试问S′系中的观测者观测到的光子运动方向如何?

解: S系中光子运动速度的分量为

s,若它在实验室参考系中的平均寿命?= 7×10s,试

问其质量是电子静止质量的多少倍? 解: 设

?0=2×10

?子静止质量为

m0,相对实验室参考系的速度为

v??c,相应质量为

m,电子静止质量为

m0e,因

???01??2,即11??2??7??02?vx?ccos60ο?0.500c

由质速关系,在实验室参考系中质量为:

vy?csin60?0.866c

由速度变换公式,光子在S?系中的速度分量为

vx?u0.5c?0.6cv?????0.143cxu0.6c?0.5c1?2vx1?cc2 u21?2vy1?0.62?0.866ccv???0.990cy?u0.6c?0.5c1?2vx1?cc2

光子运动方向与x?轴的夹角??满足

v?ytan?????0.692v?x ο??在第二象限为???98.2 在S?系中,光子的运动速度为

正是光速不变.

3-17 (1)如果将电子由静止加速到速率为0.1c,须对它作多少功?(2)如果将电子由速率为0.8c加速到0.9c,又须对它作多少功? 解: (1)对电子作的功,等于电子动能的增量,得

2?2v??v?x?vy?cοm?m01??2207m0e1??2

3-19 一物体的速度使其质量增加了10%,试问此物体在运动方向上

缩短了百分之几? 解: 设静止质量为

m2077??207??725m0e21??2

m0,运动质量为m,

m?m0?0.10m0由题设

m?m01??2

1由此二式得

1??2?1?0.10

1??2?∴ 在运动方向上的长度和静长分别为l和

11.10

l0,则相对收缩量为:

?Ek?Ek?mc2?m0c2?m0c2(??1)?m0c2(11?vc22?l?1)l0?3-20 一电子在电场中从静止开始加速,试问它应通过多大的电势差才能使其质量增加0.4%?此时电子速度是多少?已知电子的静止

-31

质量为9.1×10kg. 17

l0?l1?1?1??2?1??0.091?9.1%l01.10

72

?m?E0.4??2m100mc00解: 由质能关系

23-22

2氢原子的同位素氘(13H)和氚(1H)在高温条件下发生聚变反

4应,产生氦(22反应方程为110He)原子核和一个中子(n),并释放出大量能量,其

?E?0.4m0c?0.4?9.1?10?31?(3?108)2/100100

?16?3.28?10J3H + 1H

4210He + n

-27

2.0135原子质量单位(1原子质量单位=1.600×10kg),氚核和

氦核及中子的质量分别为3.0155,4.0015,1.00865原子质量单位.求上述聚变反应释放出来的能量.

解: 反应前总质量为2.0135?3.0155?5.02903.28?10?16?eV?19?2.0?103eV 1.6?103所需电势差为2.0?10伏特

由质速公式有:

amu

反应后总质量为4.0015?1.0087?5.0102amu 质量亏损

mm01???0??mm0??m2∴

111???m0.41.0041?1?m0100

?m?5.0290?5.0102?0.0188amu?3.12?10?29kg

由质能关系得

?E??mc2?3.12?10?29??3?108?2

12)?7.95?10?31.004v??c?2.7?107m?s-1

故电子速度为

?2?()2?1?(vc?2.81?10?21J?1.75?107eV m3-23 一静止质量为0的粒子,裂变成两个粒子,速度分别为0.6c

和0.8c.求裂变过程的静质量亏损和释放出的动能.

解: 孤立系统在裂变过程中释放出动能,引起静能减少,相应的静止质量减少,即静质量亏损. 设裂变产生两个粒子的静质量分别为

3-21 一正负电子对撞机可以把电子加速到动能K=2.8×9

10eV.这种电子速率比光速差多少? 这样的一个电子动量是多

Em10和m20,其相应的速度

v1?0.6c,v2?0.8c

由于孤立系统中所发生的任何过程都同时遵守动量守恒定律和能(质)量守恒定律,所以有

E大?(与电子静止质量相应的能量为0=0.511×10eV

6

)

2Ek?解:

22m0c2v21?2c?m0c??m1v1?m2v2?

m10v121?2cm10?v1?m202v21?2c?v2?0

1?m0cv1??c21?Ek/m0c2Ek?m0c2m1?m2?1?

注意

vc212?m201?vc222?m0

由上式,

m0c22v?c1?()m0c2?Ekm1和m2必沿相反方向运动,动量守恒的矢量方程可以简化

v1?0.6c,v2?0.8c代入,将上二方程

为一维标量方程,再以化为:

m10m2082?c1?(0.51?106)2/(0.511?106?2.8?109)6??m0m 10?m200.686,0.8

?2.9979245?108m?s-1

上二式联立求解可得: 8-1c?v?2.997924580?10m?sm10?0.459m0, m20?0.257m0 ?2.9979245?108?8 m?s-1

22224?m?m0?(m10?m20)?0.284m0由静质量E?pc?mc可得 故静质量亏损0由动量能量关系

E?2Ekmc2??mc2?0.284mc20E?k0p??? ccc m0的粒子,分别以

3-24 1有A,B两个静止质量都是

82?[(2.82?1018?2?2.8?109?0.511?106)?1.62?10?38]=/3?10v1vv,2=-v的速度相向运动,在发生完全非弹性碰撞后合并为

E?mc(Ek?m0c)?mc?1.49?10?18kg?m?s?1一个粒子.求碰撞后粒子的速度和静止质量.

mm解: 在实验室参考系中,设碰撞前两粒子的质量分别1和2,碰撞后粒子的质量为M、速度为V,于是,根据动量守恒和质量

守恒定律可得:

2204222042k亏损引起静能减少,即转化为动能,故放出的动能为

18

72

m1v1?m2v2?MV①

m1?m2?M② 由

(1)拍皮球时球的运动; (2)如题4-1图所示,一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动

(设小球所经过的弧线很 短).

题4-1图

解:要使一个系统作谐振动,必须同时满足以下三个条件:一 ,描述系统的各种参量,如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量;二,系统 是在 自己的稳定平衡位置附近作往复运动;三,在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用.或者说,若一个系统的运动微分方程能用

?v2)c

代入①式得 V?0

2m0M?m1?m2v1?()2c,即为碰撞后静止质量.

1?(3-25 试估计地球、太阳的史瓦西半径.

m1v1?m2v2?m0vv1?()2c?m0(?v)?0d2???2??0 2dt描述时,其所作的运动就是谐振动.

(1)拍皮球时球的运动不是谐振动.第一,球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置;第二,球在运动中所受的三个力:重力,地面给予的弹力,击球者给予的拍击力,都不是线 性回复力.

(2)小球在题4-1图所示的情况中所作的小弧度的运动,是谐振动.显然,小球在运动过程中,各种参量均为常量;该系统(指

小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点,即系统势能

最小值位置点O;而小球在运动中的回复力为?mgsin?,如题

4-1图(b)所示.题 中所述,?S<<R,故?2GMc2 解: 史瓦西半径

M?6?1024kg地球:

rs?则

2?6.7?10?11?6?1024?3rs??8.9?10m82(3?10)

30M?2?10kg

太阳:

则:

??SR→0,所以

回复力为?mg?.式中负号,表示回复力的方向始终与角位移的方向相反.即小球在O点附近的往复运动中所受回复力为线性的.若以小球为对象,则小球在以O?为圆心的竖直平面内作圆周运动,由牛顿第二定律,在凹槽切线方向上有

m 30

3-26 典型中子星的质量与太阳质量M⊙=2×10kg

半径约为10km.若进一步坍缩为黑洞,其史瓦西半径为多少?一个质子那么大小的微黑洞(10cm),质量是什么数量

-15

rs?2?6.7?10?2?10(3?108)2?1130?3?103d2?mR2??mg?

dt令?2级?

?3r?3?10m 解: (1)史瓦西半径与太阳的相同,s?15r?10cm ?10?17m (2) sg,则有 Rd2?2???0 2dt4-2 劲度系数为k1和k2的两根弹簧,与质量为m的小球按题4-2图所示的两种方式连 接,试证明它们的振动均为谐振动,并分别求出它们的振动周期.

由 得

rs?2GMc2

3-27 简述广义相对论的基本原理和实验验证.

解: 广义相对论的基本原理是等效原理和广义相对性原理.

等效原理又分为弱等效原理和强等效原理.弱等效原理是:在局部时空中,不可能通过力学实验区分引力和惯性力,引力和惯性力等效.强等效原理是:在局部时空中,任何物理实验 都不能区分引力和惯性力,引力和惯性力等效. 广义相对性原理是:所有参考系都是平权的,物理定律的表述相同. 广义相对论的实验验证有:光线的引力偏转,引力红移,水星近日点进动,雷达回波延迟等.

习题四

4-1 符合什么规律的运动才是谐振动?分别分析下列运动是不是谐振动:

19

rsc210?17?(3?108)29M???6.7?10kg 2G2?6.7?10?11题4-2图

解:(1)图(a)中为串联弹簧,对于轻弹簧在任一时刻应有

F?F1?F2,设串联弹簧的等效倔强系数为K串等效位移为x,则有

F??k串xF1??k1x1F2??k2x2

又有 x?x1?x2

FFFx??1?2

k串k1k2所以串联弹簧的等效倔强系数为

72 k串?k1k2k1?k2 即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为

k?k1k2/(k1?k2)的弹簧振子系统,故小球作谐振动.其振动

周期为

T?2???2?m(k1?k2)m?2?k串k1k2mR2?Im?I/R2T??2?(?2?) ?KkR2?34-4 质量为10?10kg的小球与轻弹簧组成的系统,按

2?x?0.1cos(8??)(SI)的规律作谐振动,求:

32?(1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值;

(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能,在哪些位置上动能与势能相等? (3)t2

(2)图(b)中可等效为并联弹簧,同上理,应有F即x?F1?F2,

?x1?x2,设并联弹簧的倔强系数为k并,则有

k并x?k1x1?k2x2

故 k并同上理,其振动周期为

?k1?k2

?5s与t1?1s两个时刻的位相差;

解:(1)设谐振动的标准方程为x?Acos(?t??0),则知:

2?1A?0.1m,??8?,?T??s,?0?2?/3

?4?1又 vm??A?0.8?m?s

m

k1?k24-3 如题4-3图所示,物体的质量为m,放在光滑斜面上,斜面与水平面的夹角为?,弹簧的倔强系数为k,滑轮的转动惯量为I,半径为R.先把物体托住,使弹簧维持原长,然 后由静止释

T??2?放,试证明物体作简谐振动,并求振动周期.

?2.51m?s?1

am??2A?63.2m?s?2

(2)

Fm?am?0.63N 12E?mvm?3.16?10?2J

21Ep?Ek?E?1.58?10?2J

2当Ek?Ep时,有E?2Ep,

题4-3图

解:分别以物体m和滑轮为对象,其受力如题4-3图(b)所示,以重物在斜面上静平衡时位置为坐标原点,沿斜面向下为x轴正向,则当重物偏离原点的坐标为x时,有

d2xmgsin??T1?m2 ①

dtT1R?T2R?I? ②

12112kx??(kA) 22222A??m ∴ x??220 (3) ????(t2?t1)?8?(5?1)?32? 4-5 一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子,振幅为A,周期为T,其振动方程用余弦函数表示.如果t?0时质点的状态分别是:

(1)x0??A;

(2)过平衡位置向正向运动; (3)过xA处向负向运动; 2d2xA?R? T2?k(x0?x) (4)过x??处向正向运动. 2dt2?③

式中x0式,有

?mgsin?/k,为静平衡时弹簧之伸长量,联立以上三

试求出相应的初位相,并写出振动方程. 解:因为 ?Id2x(mR?)2??kxR

RdtkR22令 ??mR2?I则有

?x0?Acos?0

?v0???Asin?0将以上初值条件代入上式,使两式同时成立之值即为该条件下的初位相.故有

?1??dx??2x?0 2dt故知该系统是作简谐振动,其振动周期为

2?2???3?20

32?32?x?Acos(t??)

T2?3x?Acos(t??)

T22??x?Acos(t?)

T3

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