72
解: 以脉冲星为S?系，?x??0，固有周期
?t???0.地球为S系，则有运动时1，这里1不是地球上某点观测到的周期，而是以地球为参考系的两异地钟读数之差．还要考虑因飞行
?t???t??tA以0.8c的速度相对地球向正东飞行，飞船B以0.6c
的速度相对地球向正西方向飞行．当两飞船即将相遇时A飞船在自己的天窗处相隔2s发射两颗信号弹．在B飞船的观测者测得两
3-14 飞船
颗信号弹相隔的时间间隔为多少?
解: 取B为S系，地球为S?系，自西向东为x(x?)轴正向，则
v?t1远离信号的传递时间，c
v?t1v???t????t则A对S系(B船)的速度为 cc∴ ′ vv?0.8c?0.6cx?u???t?(1?)v???0.946cxc uv?1?0.481?2x11c???
0.60.8c2?发射弹是从A的同一点发出，其时间间隔为固有时?t?2s， 1?()c
?t0.5?0??t???v0.8c?(1?)(1?)?cc则
0.50.3题3-14图 ???0.1666s11.8∴B中测得的时间间隔为： (1?0.8)0.6?t?2
?t???6.17s?v3-12 6000m 的高空大气层中产生了一个介子以速度=0.998c22v1?0.946飞向地球．假定该?介子在其自身静止系中的寿命等于其平均寿1?xc2 命2×10s．试分别从下面两个角度，即地球上的观测者和?介子
3-15 (1)火箭A和B分别以0.8c和0.6c的速度相对地球向+x静止系中观测者来判断?介子能否到达地球．
?6和-x方向飞行．试求由火箭B测得A的速度．(2)若火箭A相对?t?2?10s?0解: 介子在其自身静止系中的寿命是固有
地球以0.8c的速度向+y方向运动，火箭B的速度不变，求A相(本征)时间，对地球观测者，由于时间膨胀效应，其寿命延长了．衰
对B的速度． 变前经历的时间为
?t0 解: (1)如图a，取地球为S系，B为S?系，则S?相对S的速?5?t??3.16?10s2v?0.8c，则A相对v度u?0.6c，火箭A相对S的速度x1?2S?(B)的速度为： c
vx?u0.8c?(?0.6c)这段时间飞行距离为d?v?t?9470m
v????0.946cxu(?0.6c)(0.8c)d?6000m因，故该?介子能到达地球． 1?2vx1???vcc2或在介子静止系中，介子是静止的．地球则以速度接近介 ?td??v?t0?599m 或者取A为S?系，则u?0.8c，B相对S系的速度
子，在0时间内，地球接近的距离为
vx??0.6c，于是B相对A的速度为： d?6000m?t??t1?-6
Av??0.8c，S?系对S系的速度为u?0.6c，
对S?系的速度x0经洛仑兹收缩后的值为：
??d0d0?d??d0，故?v21?2?379mc
介子能到达地球．
3-13 设物体相对S′系沿x?轴正向以0.8c运动，如果S′系相对
S系沿x轴正向的速度也是0.8c，问物体相对S系的速度是多少?
vx?u?0.6c?0.8c???0.946cu(0.8c)(?0.6c)1?2vx1?cc2
(2)如图b，取地球为S系，火箭B为S?系，S?系相对S系沿?x方向运动，速度u??0.6c，A对S系的速度
v?x?为,
u?0.8c,v?x?0.8c 解: 根据速度合成定理，
∴
vx?0,vy?0.8c,由洛仑兹变换式A相对B的速度为：
v??u0.8c?0.8cvx?x??0.98cuv?0.8c?0.8c1?2x1?c2c
16
v?x?vx?u0?(?0.6c)??0.6cu1?01?2vxc
72
u21?2vycv??1?0.62(0.8c)?0.64cy?u1?2vxc
∴A相对B的速度大小为
??0.88cv??v?x?v速度与x?轴的夹角??为
22y?9.1?10?31?(3?108)2(121?0.1?4.12?10?16J=2.57?103eV
?1)
(2)
??Ek?Ek?(m2c2?m0c2)?(m1c2?m0c2)?Ek21?m2c2?m1c2?m0c2()
11?vc222?11?vc212)tan???v?yv?x???46.8ο
?1.07
?9.1?10?31?32?1016(?5.14?10?143-18
1?子静止质量是电子静止质量的207倍，静止时的平均寿命
-6
-6
1?0.92J?3.21?105eV
?11?0.82题3-15图
3-16 静止在S系中的观测者测得一光子沿与x轴成60?角的方向飞行．另一观测者静止于S′系，S′系的x?轴与x轴一致，并以0.6c的速度沿x方向运动．试问S′系中的观测者观测到的光子运动方向如何?
解: S系中光子运动速度的分量为
s，若它在实验室参考系中的平均寿命?= 7×10s，试
问其质量是电子静止质量的多少倍? 解: 设
?0=2×10
?子静止质量为
m0，相对实验室参考系的速度为
v??c，相应质量为
m，电子静止质量为
m0e，因
???01??2,即11??2??7??02?vx?ccos60ο?0.500c
由质速关系，在实验室参考系中质量为：
vy?csin60?0.866c
由速度变换公式，光子在S?系中的速度分量为
vx?u0.5c?0.6cv?????0.143cxu0.6c?0.5c1?2vx1?cc2 u21?2vy1?0.62?0.866ccv???0.990cy?u0.6c?0.5c1?2vx1?cc2
光子运动方向与x?轴的夹角??满足
v?ytan?????0.692v?x ο??在第二象限为???98.2 在S?系中，光子的运动速度为
正是光速不变．
3-17 (1)如果将电子由静止加速到速率为0.1c，须对它作多少功?(2)如果将电子由速率为0.8c加速到0.9c，又须对它作多少功? 解: (1)对电子作的功，等于电子动能的增量，得
2?2v??v?x?vy?cοm?m01??2207m0e1??2
故
3-19 一物体的速度使其质量增加了10%，试问此物体在运动方向上
缩短了百分之几? 解: 设静止质量为
m2077??207??725m0e21??2
m0，运动质量为m，
m?m0?0.10m0由题设
m?m01??2
1由此二式得
1??2?1?0.10
1??2?∴ 在运动方向上的长度和静长分别为l和
11.10
l0，则相对收缩量为：
?Ek?Ek?mc2?m0c2?m0c2(??1)?m0c2(11?vc22?l?1)l0?3-20 一电子在电场中从静止开始加速，试问它应通过多大的电势差才能使其质量增加0.4%?此时电子速度是多少?已知电子的静止
-31
质量为9.1×10kg． 17
l0?l1?1?1??2?1??0.091?9.1%l01.10
72
?m?E0.4??2m100mc00解: 由质能关系
∴
23-22
2氢原子的同位素氘(13H)和氚(1H)在高温条件下发生聚变反
4应，产生氦(22反应方程为110He)原子核和一个中子(n)，并释放出大量能量，其
?E?0.4m0c?0.4?9.1?10?31?(3?108)2/100100
?16?3.28?10J3H + 1H
4210He + n
-27
＝
2.0135原子质量单位(1原子质量单位＝1.600×10kg)，氚核和
氦核及中子的质量分别为3.0155，4.0015，1.00865原子质量单位．求上述聚变反应释放出来的能量．
解: 反应前总质量为2.0135?3.0155?5.02903.28?10?16?eV?19?2.0?103eV 1.6?103所需电势差为2.0?10伏特
由质速公式有：
amu
反应后总质量为4.0015?1.0087?5.0102amu 质量亏损
mm01???0??mm0??m2∴
111???m0.41.0041?1?m0100
?m?5.0290?5.0102?0.0188amu?3.12?10?29kg
由质能关系得
?E??mc2?3.12?10?29??3?108?2
12)?7.95?10?31.004v??c?2.7?107m?s-1
故电子速度为
?2?()2?1?(vc?2.81?10?21J?1.75?107eV m3-23 一静止质量为0的粒子，裂变成两个粒子，速度分别为0.6c
和0.8c．求裂变过程的静质量亏损和释放出的动能．
解: 孤立系统在裂变过程中释放出动能，引起静能减少，相应的静止质量减少，即静质量亏损． 设裂变产生两个粒子的静质量分别为
3-21 一正负电子对撞机可以把电子加速到动能K＝2.8×9
10eV．这种电子速率比光速差多少? 这样的一个电子动量是多
Em10和m20，其相应的速度
v1?0.6c,v2?0.8c
由于孤立系统中所发生的任何过程都同时遵守动量守恒定律和能(质)量守恒定律，所以有
E大?(与电子静止质量相应的能量为0＝0.511×10eV
6
)
2Ek?解:
所
22m0c2v21?2c?m0c??m1v1?m2v2?
以
m10v121?2cm10?v1?m202v21?2c?v2?0
1?m0cv1??c21?Ek/m0c2Ek?m0c2m1?m2?1?
注意
vc212?m201?vc222?m0
由上式，
m0c22v?c1?()m0c2?Ekm1和m2必沿相反方向运动，动量守恒的矢量方程可以简化
v1?0.6c,v2?0.8c代入，将上二方程
为一维标量方程，再以化为：
m10m2082?c1?(0.51?106)2/(0.511?106?2.8?109)6??m0m 10?m200.686，0.8
?2.9979245?108m?s-1
上二式联立求解可得： 8-1c?v?2.997924580?10m?sm10?0.459m0, m20?0.257m0 ?2.9979245?108?8 m?s-1
22224?m?m0?(m10?m20)?0.284m0由静质量E?pc?mc可得 故静质量亏损0由动量能量关系
E?2Ekmc2??mc2?0.284mc20E?k0p??? ccc m0的粒子，分别以
3-24 1有A，B两个静止质量都是
82?[(2.82?1018?2?2.8?109?0.511?106)?1.62?10?38]=/3?10v1vv,2=-v的速度相向运动，在发生完全非弹性碰撞后合并为
E?mc(Ek?m0c)?mc?1.49?10?18kg?m?s?1一个粒子．求碰撞后粒子的速度和静止质量．
mm解: 在实验室参考系中，设碰撞前两粒子的质量分别1和2，碰撞后粒子的质量为M、速度为V，于是，根据动量守恒和质量
守恒定律可得：
2204222042k亏损引起静能减少，即转化为动能，故放出的动能为
18
72
m1v1?m2v2?MV①
m1?m2?M② 由
(1)拍皮球时球的运动； (2)如题4-1图所示，一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动
(设小球所经过的弧线很 短)．
于
题4-1图
解：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一 ，描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量；二，系统 是在 自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三，在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用．或者说，若一个系统的运动微分方程能用
?v2)c
代入①式得 V?0
2m0M?m1?m2v1?()2c，即为碰撞后静止质量．
1?(3-25 试估计地球、太阳的史瓦西半径．
m1v1?m2v2?m0vv1?()2c?m0(?v)?0d2???2??0 2dt描述时，其所作的运动就是谐振动．
(1)拍皮球时球的运动不是谐振动．第一，球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置；第二，球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线 性回复力．
(2)小球在题4-1图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动．显然，小球在运动过程中，各种参量均为常量；该系统(指
小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能
：
最小值位置点O；而小球在运动中的回复力为?mgsin?，如题
4-1图(b)所示．题 中所述，?S＜＜R，故?2GMc2 解: 史瓦西半径
M?6?1024kg地球：
rs?则
2?6.7?10?11?6?1024?3rs??8.9?10m82(3?10)
30M?2?10kg
太阳：
则：
??SR→0，所以
回复力为?mg?.式中负号，表示回复力的方向始终与角位移的方向相反．即小球在O点附近的往复运动中所受回复力为线性的．若以小球为对象，则小球在以O?为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，在凹槽切线方向上有
m 30
3-26 典型中子星的质量与太阳质量M⊙＝2×10kg
半径约为10km．若进一步坍缩为黑洞，其史瓦西半径为多少?一个质子那么大小的微黑洞(10cm)，质量是什么数量
-15
rs?2?6.7?10?2?10(3?108)2?1130?3?103d2?mR2??mg?
dt令?2级?
?3r?3?10m 解: (1)史瓦西半径与太阳的相同，s?15r?10cm ?10?17m (2) sg，则有 Rd2?2???0 2dt4-2 劲度系数为k1和k2的两根弹簧，与质量为m的小球按题4-2图所示的两种方式连 接，试证明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期．
由 得
rs?2GMc2
3-27 简述广义相对论的基本原理和实验验证．
解: 广义相对论的基本原理是等效原理和广义相对性原理．
等效原理又分为弱等效原理和强等效原理．弱等效原理是：在局部时空中，不可能通过力学实验区分引力和惯性力，引力和惯性力等效．强等效原理是：在局部时空中，任何物理实验 都不能区分引力和惯性力，引力和惯性力等效． 广义相对性原理是：所有参考系都是平权的，物理定律的表述相同． 广义相对论的实验验证有：光线的引力偏转，引力红移，水星近日点进动，雷达回波延迟等．
习题四
4-1 符合什么规律的运动才是谐振动?分别分析下列运动是不是谐振动：
19
rsc210?17?(3?108)29M???6.7?10kg 2G2?6.7?10?11题4-2图
解：(1)图(a)中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有
F?F1?F2，设串联弹簧的等效倔强系数为K串等效位移为x，则有
F??k串xF1??k1x1F2??k2x2
又有 x?x1?x2
FFFx??1?2
k串k1k2所以串联弹簧的等效倔强系数为
72 k串?k1k2k1?k2 即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为
k?k1k2/(k1?k2)的弹簧振子系统，故小球作谐振动．其振动
周期为
T?2???2?m(k1?k2)m?2?k串k1k2mR2?Im?I/R2T??2?(?2?) ?KkR2?34-4 质量为10?10kg的小球与轻弹簧组成的系统，按
2?x?0.1cos(8??)(SI)的规律作谐振动，求：
32?(1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值；
(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等? (3)t2
(2)图(b)中可等效为并联弹簧，同上理，应有F即x?F1?F2，
?x1?x2，设并联弹簧的倔强系数为k并，则有
k并x?k1x1?k2x2
故 k并同上理，其振动周期为
?k1?k2
?5s与t1?1s两个时刻的位相差；
解：(1)设谐振动的标准方程为x?Acos(?t??0)，则知：
2?1A?0.1m,??8?,?T??s,?0?2?/3
?4?1又 vm??A?0.8?m?s
m
k1?k24-3 如题4-3图所示，物体的质量为m，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为?，弹簧的倔强系数为k，滑轮的转动惯量为I，半径为R．先把物体托住，使弹簧维持原长，然 后由静止释
T??2?放，试证明物体作简谐振动，并求振动周期．
?2.51m?s?1
am??2A?63.2m?s?2
(2)
Fm?am?0.63N 12E?mvm?3.16?10?2J
21Ep?Ek?E?1.58?10?2J
2当Ek?Ep时，有E?2Ep，
题4-3图
解：分别以物体m和滑轮为对象，其受力如题4-3图(b)所示，以重物在斜面上静平衡时位置为坐标原点，沿斜面向下为x轴正向，则当重物偏离原点的坐标为x时，有
d2xmgsin??T1?m2 ①
dtT1R?T2R?I? ②
12112kx??(kA) 22222A??m ∴ x??220 (3) ????(t2?t1)?8?(5?1)?32? 4-5 一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其振动方程用余弦函数表示．如果t?0时质点的状态分别是：
(1)x0??A；
即
(2)过平衡位置向正向运动； (3)过xA处向负向运动； 2d2xA?R? T2?k(x0?x) (4)过x??处向正向运动． 2dt2?③
式中x0式，有
?mgsin?/k，为静平衡时弹簧之伸长量，联立以上三
试求出相应的初位相，并写出振动方程． 解：因为 ?Id2x(mR?)2??kxR
RdtkR22令 ??mR2?I则有
?x0?Acos?0
?v0???Asin?0将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有
?1??dx??2x?0 2dt故知该系统是作简谐振动，其振动周期为
2?2???3?20
32?32?x?Acos(t??)
T2?3x?Acos(t??)
T22??x?Acos(t?)
T3