72 5?2?5x?Acos(t??) 4T4?34-6 一质量为10?10kg的物体作谐振动，振幅为24cm，周期为4.0s，当t?0时位移为?24cm．求：
(1)t?0.5s时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向； (2)由起始位置运动到x?12cm处所需的最短时间； (3)在x?12cm处物体的总能量．
?2解：由题已知 A?24?10m,T?4.0s
2?∴ ???0.5?rad?s?1
T又，t?0时，x0??A,??0?0
?4??2A?x0?(v0?)2?225.0?10?22?(1.0?10)?()5?2?10?2mv05.0?10?25? tan?0????1,即??0?2x0?1.0?10?545?2∴ x?2?10cos(5t??)m
4
故振动方程为
4-8 图为两个谐振动的x?t曲线，试分别写出其谐振动方程．
x?24?10?2cos(0.5?t)m
(1)将t?0.5s代入得
x0.5?24?10?2cos(0.5?t)m?0.17m
F??ma??m?2x??10?10?()?0.17??4.2?10N2?3?2?3
题4-8图
方向指向坐标原点，即沿x轴负向． (2)由题知，t?0时，?0?0，
A?t?t时 x0??,且v?0,故?t?
23????2∴ t??/?s
?323 (3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的
总能量均为
解：由题4-8图(a)，∵t121kA?m?2A2221???10?10?3()2?(0.24)2 22?7.1?10?4J4-7 有一轻弹簧，下面悬挂质量为1.0g的物体时，伸长为
4.9cm．用这个弹簧和一个质量为8.0g的小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开1.0cm后 ，给予向上的初速度v0?5.0cm?s?1，求振动周期和振动表达式．
E?m1g1.0?10?3?9.8解：由题知k???0.2N?m?1 ?2x14.9?10?2?2-1而t?0时，x0??1.0?10m,v0?5.0?10m?s ( 设
向上为正) 又
?0时，3x0?0,v0?0,??0??,又,A?10cm,T?2s
22?即 ????rad?s?1
T3故 xa?0.1cos(?t??)m
2A5?由题4-8图(b)∵t?0时，x0? ,v0?0,??0?23?t1?0时，x1?0,v1?0,??1?2??
255又 ?1???1????
325∴ ???
655?故 xb?0.1cos(?t?)m
634-9 一轻弹簧的倔强系数为k，其下端悬有一质量为M的盘子．现有一质量为m的物体从离盘底h高度处自由下落到盘中并
和盘子粘在一起，于是盘子开始振动．
(1)此时的振动周期与空盘子作振动时的周期有何不同? (2)此时的振动振幅多大?
(3)取平衡位置为原点，位移以向下为正，并以弹簧开始振动时作为计时起点，求初位相并写出物体与盘子的振动方程． 解：(1)空盘的振动周期为2???k0.22???5,即T??1.26s ?3m?8?10Mk，落下重物后振动周期为
2?
21
M?m，即增大． k72
(2)按(3)所设坐标原点及计时起点，t则x0???0时，
mgk．碰
撞时，以m,M为一系统动量守恒，即
m2gh?(m?M)v0
m2gh则有 v0?m?M于是
20
题4-11图
解：由题意可做出旋转矢量图如下． 由图知
2A2?A12?A2?2A1Acos30?
mg2m22gh2A?x?()?()?()?k(m?M)v02?(0.173)2?(0.2)2?2?0.173?0.2?3/2
?0.01∴ 设角
mg2kh?1?k(m?M)gv02kh（3）tan?0???x0?(M?m)g (第三象限)，所以振
A2?0.1m
AA1O为?，则
2A2?A12?A2?2A1A2cos?即
2A12?A2?A2(0.173)2?(0.1)2?(0.02)2cos???动方程为
2A1A22?0.173?0.1?mg2khk2kh?x?1?cos?t?arctan? ?0k(m?M)g(M?m)g??m?M??AA即，这说明，与间夹角为，即二振动的位相差???3214-10 有一单摆，摆长l?1.0m，摆球质量m?10?10kg，22当摆球处在平衡位置时，若给小球一水平向右的冲量?为. ?4?1F?t?1.0?10kg?m?s，取打击时刻为计时起点24-12 试用最简单的方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动(t?0)，求振动的初位相和角振幅，并写出小球的振动方程．
解：由动量定理，有
的振幅：
F??t?mv?0
∴
F??t1.0?10?4-1v???0.01m?s
m1.0?10?3按题设计时起点，并设向右为x轴正向，则知t?0时，x0?0,v0?0.01m?s?1 ＞0
∴ ?0?3?/2
又 ?∴
2A?x0?(?v0g9.8??3.13rad?s?1 l1.0?0.01?3.2?10?3m 3.13v0?)2??故其角振幅
??小球的振动方程为
A?3.2?10?3rad l??x?5cos(3t?)cm?13(1) ? 7??x2?5cos(3t?)cm3???x?5cos(3t?)cm?13(2)? 4??x2?5cos(3t?)cm3?7??解： (1)∵ ????2??1???2?,
33∴合振幅 A?A1?A2?10cm
4??(2)∵ ??????,
33∴合振幅 A?0
4-13 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为
??3.2?10?3cos(3.13t??)rad
4-11 有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为
32??x?0.4cos(2t?)m?16 ?5?x2?0.3cos(2t??)m6?试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相，并写
出谐振方程。
解：∵ ???0.20m，位相与第一振动的位相差为，已知第一振动的振幅为
6 0.173m，求第二个振动的振幅以及第一、第二两振动的位相差．
5?(??)?? 66∴ A合?A1?A2?0.1m
?? 22
72
5?(3)振动曲线y?f(t)描述的是一个质点的位移随时间变化的规
Asin?1?A2sin?2366?律，因此，其纵轴为y，横轴为t；波动曲线y?f(x,t)描述的tan??1?
?5?A2cos?1?A2cos?23是介质中所有质元的位移随位置，随时间变化的规律，其纵轴为0.4cos?0.3cosy，横轴为x．每一幅图只能给出某一时刻质元的位移随坐标位66?置x变化的规律，即只能给出某一时刻的波形图，不同时刻的波动
∴ ??
曲线就是不同时刻的波形图． 6xx其振动方程为
t??u)+?0］中的u表示什么?5-2 波动方程y=Acos［?(x?0.1cos(2t?)m 6?x?x?t???(作图法略) 0y=Acos (u如果改写为)，u又是什么意思?如4-14 如题4-14图所示，两个相互垂直的谐振动的合振动图形为
x一椭圆，已知x方向的振动方程为x?6cos2?tcm，求y方向
t?的振动方程． u)+?0］的值不变，由此果t和x均增加，但相应的［?(
0.4?sin??0.3sin*
能从波动方程说明什么?
解: 波动方程中的x/u表示了介质中坐标位置为x的质元的振动
?x落后于原点的时间；
题4-14图
u则表示x处质元比原点落后的振动位相；
设t时刻的波动方程为
?3?或；
22?又，轨道是按顺时针方向旋转，故知两分振动位相差为.所以y2解：因合振动是一正椭圆，故知两分振动的位相差为方向的振动方程为
则t??t时刻的波动方程为
yt?Acos(?t??xu??0)
yt??t?Acos[?(t??t)?其表示在时刻
?(x??x)u??0]y?12cos(2?t?
?2)cm
习题五
5-1 振动和波动有什么区别和联系?平面简谐波动方程和简谐振动方程有什么不同?又有什么联系?振动曲线和波形曲线有什么不同?
解: (1)振动是指一个孤立的系统(也可是介质中的一个质元)在某固定平衡位置附近所做的往复运动，系统离开平衡位置的位移是时间的周期性函数，即可表示为y?f(t)；波动是振动在连续介质中的传播过程，此时介质中所有质元都在各自的平衡位置附近作又是时间t的函数，即
t，位置x处的振动状态，经过?t后传播到
?x(?t?)x?u?t处．所以在u中，当t，x均增加时，
?x(?t?)u的值不会变化，而这正好说明了经过时间?t，波形
即向前传播了?x?u?t的距离，说明
?xy?Aco?ts?(??0)u描述的是一列行进中的波，故谓之行
波方程．
5-3 波在介质中传播时，为什么介质元的动能和势能具有相同的位相，而弹簧振子的动能和势能却没有这样的特点? 解: 我们在讨论波动能量时，实际上讨论的是介质中某个小体积元
振动，因此介质中任一质元离开平衡位置的位移既是坐标位置x，
y?f(x,t)．
(2)在谐振动方程y?f(t)中只有一个独立的变量时间t，它描述的是介质中一个质元偏离平衡位置的位移随时间变化的规律；平面谐波方程
dV内所有质元的能量．波动动能当然是指质元振动动能，其与振
动速度平方成正比，波动势能则是指介质的形变势能．形变势能由介质的相对形变量(即应变量)决定．如果取波动方程为
y?f(x,t)中有两个独立变量，即坐标位置x和时间
t，它描述的是介质中所有质元偏离平衡位置的位移随坐标和时间
变化的规律．
y?f(x,t)，则相对形变量(即应变量)为?y/?x.波动势能则
是与的平方成正比．由波动曲线图(题5-3图)可知，在波峰，波谷处，波动动能有极小(此处振动速度为零)，而在该处的应变也为极小(该处)，所以在波峰，波谷处波动势能也为极小；在平衡位置处波动动能为极大(该处振动速度的极大)，而在该处的应变也是最大(该处是曲线的拐点)，当然波动势能也为最大．这就说明了在介质中波动动能与波动势能是同步变化的，即具有相同的量值．
?y/?xxy?Acos?(t?)u中的坐标位置给定后，当谐波方程即可得到
该点的振动方程，而波源持续不断地振动又是产生波动的必要条件
之一．
?y/?x?0 23
72
题5-3图
对于一个孤立的谐振动系统，是一个孤立的保守系统，机械能守恒，即振子的动能与势能之和保持为一个常数，而动能与势能在不断地转换，所以动能和势能不可能同步变化．
5-4 波动方程中，坐标轴原点是否一定要选在波源处? t=0时刻是否一定是波源开始振动的时刻? 波动方程写成
y=Acos?(
t?xu)时，波源一定在坐标原点处吗?在什么前提
下波动方程才能写成这种形式?
解: 由于坐标原点和开始计时时刻的选全完取是一种主观行为，所以在波动方程中，坐标原点不一定要选在波源处，同样，t?0的时刻也不一定是波源开始振动的时刻；当波动方程写成
xy?Acos?(t?)u时，坐标原点也不一定是选在波源所在处
的．因为在此处对于波源的含义已做了拓展，即在写波动方程时，我们可以把介质中某一已知点的振动视为波源，只要把振动方程为已知的点选为坐标原点，即可得题示的波动方程．
5-5 在驻波的两相邻波节间的同一半波长上，描述各质点振动的什么物理量不同，什么物理量相同?
题5-6 图多普勒效应
5-7 一平面简谐波沿x轴负向传播，波长?=1.0 m，原点处质点的振动频率为?=2. 0 Hz，振幅位置向解: 由题知t
y?2Acos2?解: 取驻波方程为，则可知，在相邻两波节中的同一半波长上，描述各质点的振幅是不相同的，各质点的振幅是随位置按余弦规律变化的，即振幅变化规律可表示为
?xcos??vty轴负向运动，求此平面波的波动方程．
A＝0.1m，且在t=0时恰好通过平衡
2Acos2?．而在这同一半波长上，各质点的振动位相则是相
同的，即以相邻两波节的介质为一段，同一段介质内各质点都有相同的振动位相，而相邻两段介质内的质点振动位相则相反． 5-6 波源向着观察者运动和观察者向波源运动都会产生频率增高的多普勒效应，这两种情况有何区别?
解: 波源向着观察者运动时，波面将被挤压，波在介质中的波长，将被压缩变短，(如题5-6图所示)，因而观察者在单位时间内接收到的完整数目(u/??)会增多，所以接收频率增高；而观察者向着波源运动时，波面形状不变，但观察者测到的波速增大，即
?x?0时原点处质点的振动状态为y0?0,v0?0，
?故知原点的振动初相为2,取波动方程为
txy?Acos[2?(?)??0]T?则有
x?y?0.1cos[2?(2t?)?]12
??0.1cos(4?t?2?x?)2m
5-8 已知波源在原点的一列平面简谐波，波动方程为
u?也会
增多，即接收频率也将增高．简单地说，前者是通过压缩波面(缩短波长)使频率增高，后者则是观察者的运动使得单位时间内通过的波面数增加而升高频率．
u??u?vB，因而单位时间内通过观察者完整波的数目?y=Acos(Bt?Cx)，其中A，B，C为正值恒量．求：
(1)波的振幅、波速、频率、周期与波长；
(2)写出传播方向上距离波源为l处一点的振动方程； (3)任一时刻，在波的传播方向上相距为d的两点的位相差． 解: (1)已知平面简谐波的波动方程
y?Acos(Bt?Cx) (x?0)
将上式与波动方程的标准形式
y?Acos(2??t?2?比较，可知：
x?)
A，频率， 2?B??u????C，波速C， 波长
波振幅为
24
??B2?72
T?波动周期(2)将x1??2?B．
对于O点：∵
?l代入波动方程即可得到该点的振动方程
y?Acos(Bt?Cl)
2
y??A,vA?0，∴?A?0
对于A点：∵A2 3????y?0,vC?0，∴C2 对于C点：∵C(取负值：表示A、B、C点位相，应落后于O点的位相) (2)波沿x轴负向传播，则在t时刻，有
对于B点：∵对于O点：∵
yO?0,vO?0，∴
?O??(3)因任一时刻t同一波线上两点之间的位相差为
??? 将
2?yB?0,vB?0，∴
?B????(x2?x1)x2?x1?d，及
??2?C
代入上式，即得
???Cd．
5-9 沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为
y=0.05cos(10?t?4?x)，式中x,y以米计，t以秒计．求：
(1)波的波速、频率和波长；
(2)绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度； (3)求x=0.2m
2 ?y???A,v?A?0，∴?A?0 对于A点：∵A??0,vO??0yO，∴
????O?t=1s时的位相，它是原点在哪一时刻的
位相?这一位相所代表的运动状态在t=1.25s时刻到达哪一点?
解: (1)将题给方程与标准式
?
?1相比，得振幅A?0.05m，频率??5s，波长??0.5m，
?1波速u????2.5m?s．
(2)绳上各点的最大振速，最大加速度分别为
y?Acos(2??t?2?x)2 3????C??0y??0,vC2 对于C点：∵C，∴
(此处取正值表示A、B、C点位相超前于O点的位相) 5-11 一列平面余弦波沿x轴正向传播，波速为5m·s，波长为2m，
对于B点：∵
-1
?y?B?0,vB?0，∴
?B??原点处质点的振动曲线如题5-11图所示． (1)写出波动方程；
(2)作出t=0时的波形图及距离波源0.5m处质点的振动曲线． 解: (1)由题5-11(a)图知，
vmax??A?10??0.05?0.5?m?sm?s?1A?0.1m，且t?0时，
amax??A?(10?)?0.05?5??2222y0?0,v0?0，∴
?0?3?2，
(3)x?0.2m处的振动比原点落后的时间为
x0.2??0.08s u2.5故x?0.2m,t?1s时的位相就是原点(x?0)，在t0?1?0.08?0.92s时的位相， 即 ?设这一位相所代表的运动状态在t
??又
u??5?2.52Hz，则??2???5?
题5-11图(a)
?9.2π．
xy?Acos[?(t?)??0]u取 ，
则波动方程为
?1.25s时刻到达x点，则
x?x1?u(t?t1)?0.2?2.5(1.25?1.0)?0.825 (2) ty?0.1cos[5?(t?
5-10 如题5-10图是沿x轴传播的平面余弦波在t时刻的波形曲线．(1)若波沿x轴正向传播，该时刻O，A，B，C各点的振动位相是多少?(2)若波沿x轴负向传播，上述各点的振动 位相又是多少?
解: (1)波沿x轴正向传播，则在t时刻，有
m
x3??)]52m?0时的波形如题5-11(b)图
题5-11图(b) 题5-11图(c)
题5-10图
将x
?0.5m代入波动方程，得该点处的振动方程为
25