72
(3)不相等，因为氢分子的内能?53氦分子的内能?RT． RT，
22(4) N个粒子平均速率
2v0av2v01?v??vf(v)dv??vNf(v)dv??dv??avdv
00v0N0v01123211v?(av0?av0)?v0
N329(5)0.5v0到1v0区间内粒子平均速率
?6-17 有一水银气压计，当水银柱为0.76m高时，管顶离水银柱液
-42
面0.12m，管的截面积为2.0×10m，当有少量氦(He)混入水银管内顶部，水银柱高下降为0.6m，此时温度为
27℃，试计算有多少质量氦气在管顶(He的摩尔质量为
-1
0.004kg·mol)? 解：由理想气体状态方程
pV?MRTMmol 得
M汞的重度 dHg氦气的压强 P氦气的体积 V?MmolpVRT?v?
v00.5v0vdNN1?Nv0vdNN1?0.5v0N
?1.33?105N?m?3
?(0.76?0.60)?dHg
Nv0Nv0av2?vf(v)dv?dv ??0.5v0.5v00N1N1Nv0332av01v0av21av017av0 v?dv?(?)?N1?0.5v0v0N13v024v0N1240.5v0到1v0区间内粒子数
131N1?(a?0.5a)(v0?0.5v0)?av0?N
28427av07vv??0
6N9?(0.88?0.60)?2.0?10?4m3
M?0.004? ?(0.76?0.60)?dHg?(0.28?2.0?10?4)R(273?27)(0.76?0.60)?dHg?(0.28?2.0?10?4)8.31?(273?27)?1.91?10?6Kg
0.004?
6-18 设有N个粒子的系统，其速率分布如题6-18图所示．求 (1)分布函数
f(v)的表达式；
6-19 试计算理想气体分子热运动速率的大小介于
(2)a与v0之间的关系；
(3)速度在1.5v0到2.0v0之间的粒子数． (4)粒子的平均速率．
(5)0.5v0到1v0区间内粒子平均速率．
vp?vp?100?1与vp?vp?100?1之间的分子数占总分子数的
百分比． 解：令u?vvP，则麦克斯韦速率分布函数可表示为
dN42?u2?uedu N?因为u2
题6-18图
解：(1)从图上可得分布函数表达式
?1,?u?0.02
?N42?u?ue?u 得 由 N??N4??1?e?1?0.02?1.66% N?6-20 容器中储有氧气，其压强为p＝0.1 MPa(即1atm)温度为
27℃，求
(1)单位体积中的分子n；(2)氧分子的质量m；(3)气体密度?；(4)分子间的平均距离e；(5)平均速率v；(6)方均根速率分子的平均动能ε． 解：(1)由气体状态方程
?Nf(v)?av/v0??Nf(v)?a?Nf(v)?0?(0?v?v0)(v0?v?2v0) (v?2v0)(0?v?v0)?av/Nv0?f(v)??a/N(v0?v?2v0)
?0(v?2v0)?f(v)满足归一化条件，但这里纵坐标是Nf(v)而不是f(v)故曲线下的总面积为N，
(2)由归一化条件可得
v2；(7)
p?nkT得
p0.1?1.013?105n???2.45?1024?23kT1.38?10?300m?3
(2)氧分子的质量
?v00N2v0avdv?N?adv?Nv0v0a?2N3v0
m?kg
Mmol0.03226??5.32?10N06.02?1023
(3)可通过面积计算
?N?a(2v0?1.5v0)?1N 331
72
(3)由气体状态方程
pV?MRTMmol 得
??12??9?10?20?3.33?1017?7.5 m
Mmolp0.032?0.1?1.013?105????0.13RT8.31?300 kg?m?36-24 (1)求氮气在标准状态下的平均碰撞频率；(2)若温度不变，
-4
气压降到1.33×10Pa，平均碰撞频率又为多少(设分子有效直径-10
10 m)?
(4)分子间的平均距离可近似计算
e?13n?13?2?d2nv
对于理想气体有p?nkT，即
解：(1)碰撞频率公式z2.45?1024?7.42?10?9 m
所以有 zn??2?d2vp
kT
p kT(5)平均速率
RT8.31?300v?1.60?1.60?446.58 m?s?1
Mmol0.032 (6) 方均根速率
而
v?1.60v2?1.73(7) 分子的平均动能
RT?482.87m?s?1
MmolRTMm
v?1.608.31?273?455.43 m?s?1
2855??kT??1.38?10?23?300?1.04?10?20J
226-21 1mol氢气，在温度为27℃时，它的平动动能、转动动能和
内能各是多少?
解：理想气体分子的能量
E平动动能 t氮气在标准状态下的平均碰撞频率
z?2??10?20?455.43?1.013?1058?5.44?101.38?100?273s?1 2??10?20?455.43?1.33?10?4?1?0.714s1.38?10?23?273
??iRT 2气压下降后的平均碰撞频率
z?3?8.31?300?3739.5J 22转动动能 r?2 Er??8.31?300?2493J
25内能i?5 Ei??8.31?300?6232.5 J
2?3 Et?6-25 1mol氧气从初态出发，经过等容升压过程，压强增大为原来的2倍，然后又经过等温膨胀过程，体积增大为原来的2倍，求末态与初态之间(1)气体分子方均根速率之比； (2)分子平均自由程之比．
解：由气体状态方程
6-22 一瓶氧气，一瓶氢气，等压、等温，氧气体积是氢气的2倍，求(1)氧气和氢气分子数密度之比；(2)氧分子和氢分子的平均速率之比．
解：(1)因为 p?nkT则
p1p2?T1T2 及
p2V2?p3V3
方均根速率公式
v2?1.73
RTMmol
nO?1 nH(2)由平均速率公式
v2初v2末?T1?T2p11?p22v?1.60RTMmol对于理想气体，
所以有 ?p?nkT，即 n?p kT?kT2?dp2
vO?vHMmolH1?
MmolO4-3
-5
6-23 一真空管的真空度约为1.38×10Pa(即1.0×10mmHg)，试 求在27℃时单位体积中的分子数及分子的平均自由程(设分子
-10
的有效直径d＝3×10m)．
解：由气体状态方程p?nkT得
?初T1p2??1 ?末p1T26-26 飞机起飞前机舱中的压力计指示为1.0 atm(1.013×10
5
Pa)，温度为27 ℃；起飞后压力计指示为0.8 atm(0.8104×10 Pa)，温度仍为27 ℃，试计算飞机距地面的高度． 解：气体压强随高度变化的规律：由
5
p1.38?10?317?3n???3.33?10 m23kT1.38?10?3001由平均自由程公式 ??
22?dn
32
p?nkT及n?n0emgzkTmgzkT
p?n0kTe?mgzkT?p0e??p0e?MmolgzRT
72
zm
pRTln0
Mmolgp8.31?3001z?ln?1.96?1030.0289?9.80.8?
题7-4图
解：1.由热力学第一定律有
Q若有两个交点a和b，则 经等温a?b过程有
经绝热a6-27 上升到什么高度处大气压强减少为地面的75%(设空气的温度为0℃)．
解：压强随高度变化的规律
zm
pRTln0
Mmolgp8.31?2731z?ln?2.3?1030.0289?9.80.75???E?A
?b过程
?E1?Q1?A1?0
习题七
7-1下列表述是否正确?为什么?并将错误更正．
?E2?A1?0 ?E2??A2?0
?E1??E2，这与a,b两点的内能变化应该相同矛
从上得出
盾．
2.若两条曲线有两个交点，则组成闭合曲线而构成了一循环过程，这循环过程只有吸热，无放热，且对外做正功，热机效率为100%，违背了热力学第二定律．
7-5 一循环过程如题7-5图所示，试指出： (1)ab,bc,ca各是什么过程；
(2)画出对应的p?V图； (3)该循环是否是正循环?
(4)该循环作的功是否等于直角三角形面积? (5)用图中的热量解：(1) aQ?E??pdV?Q??E??A（1） （2）
??1?（3）
Q2Q1?不可逆?1? （4）
Q2Q1
解：(1)不正确，Q(2)不正确，
??E?A
Q?ΔE??pdVQ2Q1??1?(3)不正确，
Qab,Qbc,Qac表述其热机效率或致冷系数．
?不可逆(4)不正确，
Q?1?2Q1
b是等体过程
bc过程：从图知有V?KT，K为斜率
pV?vRT 得
7-2 p?V图上封闭曲线所包围的面积表示什么?如果该面积越大，是否效率越高?
答：封闭曲线所包围的面积表示循环过程中所做的净功．由于
由
p?故bc过程为等压过程
vRK
??A净Q1AQ，净面积越大，效率不一定高，因为?还与吸热1有
关．
7-3 如题7-3图所示，有三个循环过程，指出每一循环过程所作的功是正的、负的，还是零，说明理由．
解：各图中所表示的循环过程作功都为0．因为各图中整个循环分两部分，各部分面积大小相等，而循环方向一个为逆时针，另一个为顺时针，整个循环过程作功为0．
ca是等温过程
(2)p?V图如题7?5?图
题7?5?图
(3)该循环是逆循环
(4)该循环作的功不等于直角三角形面积，因为直角三角形不是
题7-3图
7-4 用热力学第一定律和第二定律分别证明，在热线与一等温线不能有两个交点．
p?V图中的图形．
p?V图上一绝
(5) 33
e?QabQbc?Qca?Qab
72
7-10 如题7-10图所示，一系统由状态a沿acb到达状态b的过程中，有350 J热量传入系统，而系统作功126 J． (1)若沿adb时，系统作功42 J，问有多少热量传入系统? (2)若系统由状态b沿曲线ba返回状态a时，外界对系统作功为84 J，试问系统是吸热还是放热?热量传递是多少?
题7-5图 题7-6图
7-6 两个卡诺循环如题7-6图所示，它们的循环面积相等，试问： (1)它们吸热和放热的差值是否相同； (2)对外作的净功是否相等； (3)效率是否相同?
答：由于卡诺循环曲线所包围的面积相等，系统对外所作的净功相等，也就是吸热和放热的差值相等．但吸热和放热的多少不一定相等，效率也就不相同．
7-7 评论下述说法正确与否?
(1)功可以完全变成热，但热不能完全变成功；
(2)热量只能从高温物体传到低温物体，不能从低温物体传到高温物体．
(3)可逆过程就是能沿反方向进行的过程，不可逆过程就是不能沿反方向进行的过程．
答：(1)不正确．有外界的帮助热能够完全变成功；功可以完全变成热，但热不能自动地完全变成功；
(2)不正确．热量能自动从高温物体传到低温物体，不能自动地由低温物体传到高温物体．但在外界的帮助下，热量能从低温物体传到高温物体．
(3)不正确．一个系统由某一状态出发，经历某一过程达另一状态，如果存在另一过程，它能消除原过程对外界的一切影响而使系统和外界同时都能回到原来的状态，这样的过程就是 可逆过程．用任何方法都不能使系统和外界同时恢复原状态的过程是不可逆过程．有些过程
虽能沿反方向进行，系统能回到原来的状态，但外界没有同时恢复原状态，还是不可逆过程．
7-8 热力学系统从初平衡态A经历过程P到末平衡态B．如果P为可逆过程，其熵变为 ：
题7-10图
解：由abc过程可求出b态和a态的内能之差 Q
??E?A
?E?Q?A?350?126?224J
abd过程，系统作功A?42J
Q??E?A?224?42?266J统吸收热量
系
ba过程，外界对系统作功A??84J
Q??E?A??224?84??308J系统放热
7-11 1 mol单原子理想气体从300 K加热到350 K，问在下列两过程中吸收了多少热量?增加了多少内能?对外作了多少功? (1)体积保持不变； (2)压力保持不变． 解：(1)等体过程 由热力学第一定律得Q吸
??E
热
dQ可逆SB?SA??AT，如果P为不可逆过程，其熵变为
BdQ不可逆SB?SA??AT，你说对吗？哪一个表述要修改，如何
BQ??E??CV(T2?T1)??iR(T2?T1)2 3Q??E??8.31?(350?300)?623.252 J
对外作功 (2)等压过程
修改？
答：不对．熵是状态函数，熵变只与初末状态有关，如果过程P为可逆过程其熵变为：
A?0
i?2R(T2?T1)2
Q??CP(T2?T1)??吸
SB?SA??dQ可逆ATB热
，如果过程P为不可逆过程，其熵变为
SB?SA??SB?SA??BdQ可逆T7-9 根据，
这是否说明可逆过程的熵变大于不可逆过程熵变?为什么?说明理由．
答：这不能说明可逆过程的熵变大于不可逆过程熵变，熵是状态函数，熵变只与初末状态有关，如果可逆过程和不可逆过程初末状态相同，具有相同的熵变．只能说在不可逆过程中，系统的热温比之和小于熵变．
AdQ不可逆AT
BdQ不可逆SB?SA??AT及
B5?8.31?(350?300)?1038.752 J
?E??CV(T2?T1)
Q?内
能
增
加
?E?对
3?8.31?(350?300)?623.252 J
外
作
功
7-12 一个绝热容器中盛有摩尔质量为Mmol，比热容比为?的
A?Q??E?1038.75?623.5?415.5J
理想气体，整个容器以速度v运动，若容器突然停止运动，求气体
温度的升高量(设气体分子的机械能全部转变为内能)． 34
72
1mu2解：整个气体有序运动的能量为2，转变为气体分子无序运
动使得内能增加，温度变化
1.013?105?0.0015A????(579?300)??23.5?3002 J
7-14 理想气体由初状态
?E?
m1CV?T?mu2M2
(p1,V1)经绝热膨胀至末状态
(p2,V2)．试证过程中气体所作的功为
A?p1V1?p2V2??1，式中?为气体的比热容比.
?T?111Mmolu2?Mmolu2(??1)2CV2R
3
7-13 0.01 m氮气在温度为300 K时，由0.1 MPa(即1 atm)压
缩到10 MPa．试分别求氮气经等温及绝热压缩后的(1)体积；(2)温度；(3)各过程对外所作的功． 解：(1)等温压缩 T
答：证明： 由绝热方程
?300K
pV??p1V1??p2V2??C 得
pV?p2V2由11
求得体积
p?p1V1?pV1V2?11??0.01?1?10?3p210
对外作功
1V?
A??pdVV1V2
?m3
A?VRTln
5V2p?p1Vln1V1p2
dvp1V1?11A??p1V1r??(??1???1)V1v??1V2V1
pVV??11[(1)??1?1]??1V2
V2?1?1.013?10?0.01?ln0.01
??4.67?103J
57CV?R??2 5 (2)绝热压缩
p1V1?A??(V2???1?V1???1)??1又
p1V1?1/?V2?()??ppV?pV222 由绝热方程 111
p1V1?V1???1?p2V2?V2???1???1
pV?p2V2A?11??1所以
7-15 1 mol的理想气体的T-V图如题7-15图所示，ab为直线，延长线通过原点O．求ab过程气体对外做的功．
p1V1?1/?pV2?()?(1)?V1p2p2
1?()4?0.01?1.93?10?310m
???1????Tp?Tp1122由绝热方程
1得
T1p2?3001.4?(10)0.4??1p1Q??E?A，Q?0
热力学第一定律
T2??MA??CV(T2?T1)Mmol所以
pV?MRTMmol???1T2?579K
题7-15图
解：设T?KV由图可求得直线的斜率K为
T02V0
TK?0V2V0
得过程方程
K?，
由状态方程
A??p1V15R(T2?T1)RT12
pV??RT
p?得
?RTV
ab过程气体对外作功
35