2014-2015学年度第二学期期末考试
高 二 数 学（理）试题
注意事项：
1．考生务必用0.5mm黑色中性笔答题.
2．请把答案做在答题卡上，交卷时只交答题卡，不交试题，答案写在试题上无效。 3．满分150分，考试时间120分钟.
一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A={-2,-1,0,1,2,3,4},B={-3,-2,-1,1,5},则集合A∩B的子集的个数为 ( ) A.6 B.7 C.8 D.3 1
2．已知i是虚数单位，z=1+i，则复数在复平面内对应的点在 ( )
zA．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
4
3．若cos?=，则cos2?= ( )
5A. 7 25
7B.－
25
?2x-y≤0?x-3y+5≥0
3C. 5
3D.- 5
4．已知正数x,y满足?,则z=－2x－y的最小值为 ( )
A.－5 B. 5 C. 4 D. －4
5．若如图所示的程序框图运行后,输出的S的值为31,则判断框内填入的条件可以为( )
A.x>7? B.x>6? C.x≥6? D.x≤6?
6．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( ) A.3×3!
B.3×(3！)3
C.(3！)4
D.9!
7．等比数列{an}中,a1>0,则“a1 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 8．图中的阴影部分由底为1,高为1的等腰三角形及高为2和3的两矩形所构成.设函数S=S(a)(a≥0)是图中介于平行线y=0及y=a之间的阴影部分面积,则函数S(a)的图象大致为 ( ) 版权所有：中华资源库 www.ziyuanku.com 9．直线ax+by+c=0与圆x2+y2=9相交于两点M、N,若c2=a2+b2,则|MN|＝ ( ) A.42 B.22 C. 210 D. 10 10．已知函数y=f(x+2)的图象关于直线x=-2对称,且当x∈(－∞,0)时,f(x)+xf'(x)>0成立.若a=(20.2)?f(20.2),b=(ln2)?f(ln2),c=(log24)?f(log24),则a,b,c的大小关系是 ( ) A.a>b>c 11．已知a＝63A. 16 π20B.b>c>a C. c>b>a D. c>a>b ? cosx1 dx，则(ax－)9的展开式中，关于x的一次项的系数为 ( ) 22ax 63 B.－ 16 C. 63 8 63D.－ 8 1 12．在区间[0,1]上任意取两个实数a,b,则函数f(x)=x3+ax-b在区间[－1,1]上有且仅有一个零 2点的概率为 ( ) 1A. 8 1B. 4 7C. 8 3D. 4 二．填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分) 13．已知x,y都是正实数,满足x+y=1,则log2x+log2y的最大值等于 . 14．若双曲线mx2+y2=1的离心率为2，则m＝______ 15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______ 16．定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝ ??log0.5(x＋1)，0≤x<1，?则关于x的函数F(x)＝f(x)－a(0 所有零点之和为___________ 三、解答题：(解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分) 17．(本小题满分10分) →→ 已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，→ sinA)，p＝(b－2，a－2)． →→ (1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形； π→→ (2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积． 318．(本小题满分12分) 版权所有：中华资源库 www.ziyuanku.com 已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10. (1)求数列{an}的通项公式； ?an? (2)求数列?2n－1?的前n项和Sn． ? ? 19．(本小题满分12分) 为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量(单位：毫克)．下表是乙厂的5件产品的测量数据： 编号 x y 1 169 75 2 178 80 3 166 77 4 175 70 5 180 81 (1)已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量； (2)当产品中的微量元素x，y满足x≥175且y≥75时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量； (3)从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值(即数学期望)． 20．(本小题满分12分) 如图：四棱锥P-ABCD中，底面是以O为中心的? 菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝，M是 31 BC上的点，且BM=， 2 A D O B M P C (1)证明：BC⊥平面POM； (2)若边PC与底面ABCD所成角的正切值为1，求平面PAD与平面PBC所成的二面角的余弦值． 21．(本小题满分12分) x2y22 已知椭圆C：2＋2＝1（a＞b＞0）经过点M(－2，－1)，离心率为．过点M作倾 ab2 斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q． (1)求椭圆C的方程； (2)试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论． 22．(本小题满分12分) ex2 设函数f(x)＝2－k(＋lnx)(k为常数，e＝2.71828…是自然对数的底数)． xx(1)当k≤0时，求函数f(x)的单调区间； (2)当k>1时，函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求k的取值范围． 附加题(每小题5分，共15分) 版权所有：中华资源库 www.ziyuanku.com 1．数列{an}的通项公式为an＝(-1)n-1·(4n-3)，则它的前100项之和S100= ． 21 2．设a?0,b?1，若a?b?2，则+的最小值为 . ab-1 3．已知抛物线y2＝8x，点Q在圆C：x2＋y2＋2x－8y＋13＝0上，记抛物线上任意一点P到直线x=－2的距离为d，则d＋|PQ|的最小值等于__________ 版权所有：中华资源库 www.ziyuanku.com 2014-2015学年度第二学期期末考试试题答案 高 二 数 学（理） 一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 题号 答案 1 C 2 D 3 A 4 D 5 B 6 C 7 B 8 C 9 A 10 D 11 A 12 C 二．填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分) 13．－2 14．－1 15．24 16．1－2a 三、解答题：(解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分) 17．(本小题满分10分) →→ 已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，→ p＝(b－2，a－2)． →→ (1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形； π→→ (2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积． 3 →→ 解:(1)证明：∵m∥n，∴asinA＝bsinB. 3分 ab 由正弦定得知a·＝b·，∴a＝b.故△ABC为等腰三角形． 6分 2R2R→→→→ (2)∵m⊥p，∴m?p＝0，∴a(b－2)＋b(a－2)＝0，∴a＋b＝ab. 8分 由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC得4＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0. 解得ab＝4，ab＝－1(舍去)． 11分 11π ∴△ABC的面积S＝absinC＝×4×sin＝3. 12分 22318．(本小题满分12分) 已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10. (1)求数列{an}的通项公式； ?an? (2)求数列?n－1?的前n项和． ?2? ??a1＋d＝0， 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得? ?2a1＋12d＝－10，? 2分 解得? (2)设数列? ? ?a1＝1，? ??d＝－1. an故数列{an}的通项公式为an＝2?n. 6分 an? n－1??2 ? 的前n项和为Sn， 即Sn＝a1＋＋…＋n－1，① 故S1＝1，＝＋＋…＋n.② 222242 a2Sna1a2anSna2－a1an－an－1an所以，当n>1时，①?②得＝a1＋＋…＋n－1?n 9分 2222 版权所有：中华资源库 www.ziyuanku.com