分析 由于水桶在匀速上提过程中,拉力必须始终与水桶重力相平衡．水桶重力因漏水而随提升高度而变,因此,拉力作功实为变力作功．由于拉力作功也就是克服重力的功,因此,只要能写出重力随高度变化的关系,拉力作功即可题3 -20 图求出．
解 水桶在匀速上提过程中,a ＝0,拉力与水桶重力平衡,有
F ＋P ＝0
在图示所取坐标下,水桶重力随位置的变化关系为
P ＝mg -αgy
其中α＝0．2 kg/m,人对水桶的拉力的功为
W??F?dy???mg?agy?dy?882J
00l103 -21 一质量为0.20 kg 的球,系在长为2.00 m 的细绳上,细绳的另一端系在天花板上．把小球移至使细绳与竖直方向成30°角的位置,然后从静止放开．求：(1) 在绳索从30°角到0°角的过程中,重力和张力所作的功；(2) 物体在最低位置时的动能和速率；(3) 在最低位置时的张力．
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分析 (1) 在计算功时,首先应明确是什么力作功．小球摆动过程中同时受到重力和张力作用．重力是保守力,根据小球下落的距离,它的功很易求得；至于张力虽是一变力,但是,它的方向始终与小球运动方向垂直,根据功的矢量式
W??F?ds,即能得出结果来．(2) 在计算功的基础上,由动能定理直接能求出动能和速率．(3) 在求最低点的张力时,可根据小球作圆周运动时的向心加速度由重力和张力提供来确定．
解 (1) 如图所示,重力对小球所作的功只与始末位置有关,即
WP?PΔh?mgl?1?cosθ??0.53J
在小球摆动过程中,张力FＴ 的方向总是与运动方向垂直,所以,张力的功
WT??FT?ds
(2) 根据动能定理,小球摆动过程中,其动能的增量是由于重力对它作功的结果．初始时动能为零,因而,在最低位置时的动能为
Ek?Ek?0.53J
小球在最低位置的速率为
v?2EK?m2WP?2.30m?s?1 m(3) 当小球在最低位置时,由牛顿定律可得
mv2FT?P?
lmv2FT?mg??2.49N
l
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3 -22 一质量为m 的质点,系在细绳的一端,绳的另一端固定在平面上．此质点在粗糙水平面上作半径为r 的圆周运动．设质点的最初速率是v0 ．当它运动一周时,其速率为v0 /2．求：(1) 摩擦力作的功；(2) 动摩擦因数；(3) 在静止以前质点运动了多少圈？
分析 质点在运动过程中速度的减缓,意味着其动能减少；而减少的这部分动能则消耗在运动中克服摩擦力作功上．由此,可依据动能定理列式解之．
解 (1) 摩擦力作功为
11232 (1) W?Ek?Ek0?mv2?mv0??mv0228(2) 由于摩擦力是一恒力,且Fｆ ＝μmg,故有
W?Ffscos180o??2πrμmg (2)
由式(1)、(2)可得动摩擦因数为
23v0 μ?16πrg32(3) 由于一周中损失的动能为mv0,则在静止前可运行的圈数为
8n?Ek04?圈 W33 -23 如图(a)所示,A 和B 两块板用一轻弹簧连接起来,它们的质量分别
为m1 和m2 ．问在A 板上需加多大的压力,方可在力停止作用后,恰能使A 在跳起来时B 稍被提起．(设弹簧的劲度系数为k)
分析 运用守恒定律求解是解决力学问题最简捷的途径之一．因为它与过程的细节无关,也常常与特定力的细节无关．“守恒”则意味着在条件满足的前提下,过程中任何时刻守恒量不变．在具体应用时,必须恰当地选取研究对象(系统),注意守恒定律成立的条件．该题可用机械能守恒定律来解决．选取两块板、弹簧和地球为系统,该系统在外界所施压力撤除后(取作状态1),直到B 板刚被提起(取作状态2),在这一过程中,系统不受外力作用,而内力中又只有保守力(重力和弹力)作功,支持力不作功,因此,满足机械能守恒的条件．只需取状态1 和状态2,运用机械能守恒定律列出方程,并结合这两状态下受力的平衡,便可将所需压力
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求出．
解 选取如图(b)所示坐标,取原点O处为重力势能和弹性势能零点．作各状态下物体的受力图．对A 板而言,当施以外力F 时,根据受力平衡有
F1 ＝P1 ＋F (1)
当外力撤除后,按分析中所选的系统,由机械能守恒定律可得
1212ky1?mgy1?ky2?mgy2 22式中y1 、y2 为M、N 两点对原点O 的位移．因为F1 ＝ky1 ,F2 ＝ky2 及P1 ＝m1g,上式可写为
F1 -F2 ＝2P1 (2)
由式(1)、(2)可得
F ＝P1 ＋F2 (3)
当A 板跳到N 点时,B 板刚被提起,此时弹性力F′2 ＝P2 ,且F2 ＝F′2 ．由式(3)可得
F ＝P1 ＋P2 ＝(m1 ＋m2 )g
应注意,势能的零点位置是可以任意选取的．为计算方便起见,通常取弹簧原长时的弹性势能为零点,也同时为重力势能的零点．
3 -24 如图(a)所示,有一自动卸货矿车,满载时的质量为m′,从与水平成倾角α＝30.0°斜面上的点A 由静止下滑．设斜面对车的阻力为车重的0.25 倍,矿车下滑距离l 时,与缓冲弹簧一道沿斜面运动．当矿车使弹簧产生最大压缩形变时,矿车自动卸货,然后矿车借助弹簧的弹性力作用,使之返回原位置A 再装货．试问要完成这一过程,空载时与满载时车的质量之比应为多大？
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分析 矿车在下滑和返回的全过程中受到重力、弹力、阻力和支持力作用．若取矿车、地球和弹簧为系统,支持力不作功,重力、弹力为保守力,而阻力为非保守力．矿车在下滑和上行两过程中,存在非保守力作功,系统不满足机械能守恒的条件,因此,可应用功能原理去求解．在确定重力势能、弹性势能时,应注意势能零点的选取,常常选取弹簧原长时的位置为重力势能、弹性势能共同的零点,这样做对解题比较方便．
解 取沿斜面向上为x 轴正方向．弹簧被压缩到最大形变时弹簧上端为坐标原点O．矿车在下滑和上行的全过程中,按题意,摩擦力所作的功为
Wｆ ＝(0.25mg ＋0.25m′g)(l ＋x) (1)
式中m′和m 分别为矿车满载和空载时的质量,x 为弹簧最大被压缩量． 根据功能原理,在矿车运动的全过程中,摩擦力所作的功应等于系统机械能增量的负值,故有
Wｆ ＝-ΔE ＝-(ΔEP＋ΔEｋ )
由于矿车返回原位时速度为零,故ΔEｋ＝0；而ΔEP＝(m -m′) g(l ＋x) sinα,
故有
Wｆ ＝-(m -m′) g(l ＋x) sinα (2)
由式(1)、(2)可解得
m1? m?33 -25 用铁锤把钉子敲入墙面木板．设木板对钉子的阻力与钉子进入木板
-2
的深度成正比．若第一次敲击,能把钉子钉入木板1.00 ×10 m．第二次敲击时,
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