分析 两质点被刚性杆连接构成一整体,其质心坐标可按质心位矢式求出．虽然两力分别作用在杆端不同质点上,但对整体而言,可应用质心运动定律和运动学规律来求解．
解 (1) 选如图所示坐标,则t ＝0 时,系统质心的坐标为
xc0?m2x20?1.5m
m1?m2m1y10?1.9m
m1?m2yc0?对小球与杆整体应用质心运动定律,得
Fx?F1??m1?m2?Fy?F2??m1?m2?dvx (1) dtdvydt (2)
根据初始条件t ＝0 时,v ＝0,分别对式(1)、式(2)积分可得质心速度的分量与时间的函数关系式,有
??t0F1dt??F1dt??vx0?m1?m2?dvx, vx??m1?m2?dvy, vy?F1t (3)
m1?m2F2t (4)
m1?m2tvy00根据初始条件t ＝0 时,x ＝xC0 ,y ＝yC0 ,对式(3)、式(4)再一次积分可得质心坐标与时间的函数关系式,有
?F1?dx??xc0c?0??m?m??dt
2??1xct 76
xc?xc0?F1t2?1.5?0.25t2
2?m1?m2?yct?F2??dt 及 ?dyc???yc00?m?m?2??1yc?yc0?F2t2?1.9?0.19t2
2?m1?m2?(2) 利用动量定理并考虑到系统的初始状态为静止,可得系统总动量与时间的函数关系
P?ΔP???F1?F2?dt??8.0t?i??6.0t?j
0t第四章 刚体的转动
4 －1 有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上：
(1) 这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零； (2) 这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩可能是零； (3) 当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零； (4) 当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零． 对上述说法下述判断正确的是( )
(A) 只有(1)是正确的 (B)(1)、(2)正确，(3)、(4)错误 (C) (1)、(2)、(3)都正确，(4)错误 (D)(1)、(2)、(3)、(4)都正确
分析与解 力对轴之力矩通常有三种情况：其中两种情况下力矩为零：一是力的作用线通过转轴，二是力平行于转轴(例如门的重力并不能使门转)．不满足上述情况下的作用力(含题述作用力垂直于转轴的情况)对轴之矩不为零，但同时有两个力作用时，只要满足两力矩大小相等，方向相反，两力矩对同一轴的合外力矩也可以为零，由以上规则可知(1)(2)说法是正确．对于(3)(4)两种说法，如作用于刚体上的两个力为共点力，当合力为零时，它们对同一轴的合外力矩也一定为零，反之亦然．但如这两个力为非共点力，则以上结论不成立，故(3)(4)说法不完全正确．综上所述，应选(B)． 4 －2 关于力矩有以下几种说法：
(1) 对某个定轴转动刚体而言，内力矩不会改变刚体的角加速度； (2) 一对作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零；
(3) 质量相等，形状和大小不同的两个刚体，在相同力矩的作用下，它们的运动状态一定相同．
对上述说法下述判断正确的是( )
(A) 只有(2)是正确的 (B) (1)、(2)是正确的
(C)(2)、(3)是正确的 (D) (1)、(2)、(3)都是正确的
分析与解 刚体中相邻质元之间的一对内力属于作用力与反作用力，且作用点相
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同，故对同一轴的力矩之和必为零，因此可推知刚体中所有内力矩之和为零，因而不会影响刚体的角加速度或角动量等，故(1)(2)说法正确．对说法(3)来说，题述情况中两个刚体对同一轴的转动惯量因形状、大小不同有可能不同，因而在相同力矩作用下，产生的角加速度不一定相同，因而运动状态未必相同，由此可见应选(B)．
4 －3 均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示，今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆到竖直位置的过程中，下述说法正确的是( )
(A) 角速度从小到大，角加速度不变 (B) 角速度从小到大，角加速度从小到大 (C) 角速度从小到大，角加速度从大到小 (D) 角速度不变，角加速度为零
分析与解 如图所示，在棒下落过程中，重力对轴之矩是变化的，其大小与棒和水平面的夹角有关．当棒处于水平位置，重力矩最大，当棒处于竖直位置时，重力矩为零．因此在棒在下落过程中重力矩由大到小，由转动定律知，棒的角加速亦由大到小，而棒的角速度却由小到大(由机械能守恒亦可判断角速度变化情况)，应选(C)．
4 －4 一圆盘绕通过盘心且垂直于盘面的水平轴转动，轴间摩擦不计．如图射来两个质量相同，速度大小相同，方向相反并在一条直线上的子弹，它们同时射入圆盘并且留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘和子弹系统的角动量L 以及圆盘的角速度ω的变化情况为( )
(A) L 不变，ω增大 (B) 两者均不变 (C) L 不变，ω减小 (D) 两者均不确定
分析与解 对于圆盘一子弹系统来说，并无外力矩作用，故系统对轴O 的角动量守恒，故L 不变，此时应有下式成立，即
mvd?mvd?J0ω0?Jω
式中mvD 为子弹对点O 的角动量ω０ 为圆盘初始角速度，J 为子弹留在盘中后系统对轴O 的转动惯量，J0为子弹射入前盘对轴O 的转动惯量．由于J ＞J0 ，则ω
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＜ω０ ．故选(C)．
4 －5 假设卫星环绕地球中心作椭圆运动，则在运动过程中，卫星对地球中心的( )
(A) 角动量守恒，动能守恒 (B) 角动量守恒，机械能守恒 (C) 角动量不守恒，机械能守恒 (D) 角动量不守恒，动量也不守恒 (Ｅ) 角动量守恒，动量也守恒
分析与解 由于卫星一直受到万有引力作用，故其动量不可能守恒，但由于万有引力一直指向地球中心，则万有引力对地球中心的力矩为零，故卫星对地球中心的角动星守恒，即r ×mv ＝恒量，式中r 为地球中心指向卫星的位矢．当卫星处于椭圆轨道上不同位置时，由于｜r ｜不同，由角动量守恒知卫星速率不同，其中当卫星处于近地点时速率最大，处于远地点时速率最小，故卫星动能并不守恒，但由万有引力为保守力，则卫星的机械能守恒，即卫星动能与万有引力势能之和维持不变，由此可见，应选(B)． 4 －6 一汽车发动机曲轴的转速在12 s 内由1.2×103 r·min-1均匀的增加到2.7×103 r·min-1．(1) 求曲轴转动的角加速度；(2) 在此时间内，曲轴转了多少转？
分析 这是刚体的运动学问题．刚体定轴转动的运动学规律与质点的运动学规律有类似的关系，本题为匀变速转动．
解 (1) 由于角速度ω＝2π n(n 为单位时间内的转数)，根据角加速度的定义
dω，在匀变速转动中角加速度为 α?dtω?ω02π?n?n0?α???13.1rad?s?2 tt(2) 发动机曲轴转过的角度为
1ω?ω0θ?ω0t?αt2?t?π?n?n0?
22在12 s 内曲轴转过的圈数为
θn?n0N??t?390圈
2π24 －7 某种电动机启动后转速随时间变化的关系为ω?ω0?1?e?t/τ?，式中ω０＝9.0 s-1 ，τ＝2 s ．求：(1) t ＝6.0 s 时的转速；(2) 角加速度随时间变化的规律；(3) 启动后6.0 s 内转过的圈数．
分析 与质点运动学相似，刚体定轴转动的运动学问题也可分为两类：(1) 由转
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动的运动方程，通过求导得到角速度、角加速度；(2) 在确定的初始条件下，由角速度、角加速度通过积分得到转动的运动方程．本题由ω＝ω(t)出发，分别通过求导和积分得到电动机的角加速度和6.0 s 内转过的圈数．
解 (1) 根据题意中转速随时间的变化关系，将t ＝6.0 s 代入，即得
ω?ω01?e?t/τ?0.95ω0?8.6s?1
??(2) 角速度随时间变化的规律为
dωω0?t/τα??e?4.5e?t/2rad?s?2
dtτ(3) t ＝6.0 s 时转过的角度为
??θ??ωdt??ω01?e?t/τdt?36.9rad
0066??则t ＝6.0 s时电动机转过的圈数
N?θ/2π?5.87圈
4 －8 水分子的形状如图所示，从光谱分析知水分子对AA′ 轴的转动惯量JAA′＝1.93 ×10-47 kg·m2 ，对BB′ 轴转动惯量JBB′＝1.14 ×10-47 kg·m2，试由此数据和各原子质量求出氢和氧原子的距离D 和夹角θ．假设各原子都可当质点处理．
分析 如将原子视为质点，则水分子中的氧原子对AA ′轴和BB′ 轴的转动惯量均为零，因此计算水分子对两个轴的转动惯量时，只需考虑氢原子即可． 解 由图可得
JAA??2mHd2sin2θ JBB??2mHd2cos2θ
此二式相加，可得JAA??JBB??2mHd2 则 d?JAA??JBB??9.59?10?11m
2mH80