m?v?2 s?2μg?m??m?2 -10 如图(a)所示,在一只半径为R 的半球形碗内,有一粒质量为m 的小钢球,当小球以角速度ω在水平面内沿碗内壁作匀速圆周运动时,它距碗底有多高？
分析 维持钢球在水平面内作匀角速度转动时,必须使钢球受到一与向心加速度相对应的力(向心力),而该力是由碗内壁对球的支持力FN 的分力来提供的,由于支持力FN 始终垂直于碗内壁,所以支持力的大小和方向是随ω而变的．取图示Oxy 坐标,列出动力学方程,即可求解钢球距碗底的高度．
解 取钢球为隔离体,其受力分析如图(b)所示．在图示坐标中列动力学方程
FNsinθ?man?mRω2sinθ (1)
FNcosθ?mg (2)
?R?h? (3)
且有 cosθ?R由上述各式可解得钢球距碗底的高度为
gh?R?2
ω可见,h 随ω的变化而变化．
2 -11 火车转弯时需要较大的向心力,如果两条铁轨都在同一水平面内(内轨、外轨等高),这个向心力只能由外轨提供,也就是说外轨会受到车轮对它很大的向外侧压力,这是很危险的．因此,对应于火车的速率及转弯处的曲率半径,必须使外轨适当地高出内轨,称为外轨超高．现有一质量为m 的火车,以速率v 沿半径为R 的圆弧轨道转弯,已知路面倾角为θ,试求：(1) 在此条件下,火车速率v0
31
为多大时,才能使车轮对铁轨内外轨的侧压力均为零？ (2) 如果火车的速率v≠v0 ,则车轮对铁轨的侧压力为多少？
分析 如题所述,外轨超高的目的欲使火车转弯的所需向心力仅由轨道支持力的水平分量FNsinθ 提供(式中θ 角为路面倾角)．从而不会对内外轨产生挤压．与其对应的是火车转弯时必须以规定的速率v0行驶．当火车行驶速率v≠v0 时,则会产生两种情况：如图所示,如v＞v0 时,外轨将会对车轮产生斜向内的侧压力F1 ,以补偿原向心力的不足,如v＜v0时,则内轨对车轮产生斜向外的侧压力F2 ,以抵消多余的向心力,无论哪种情况火车都将对外轨或内轨产生挤压．由此可知,铁路部门为什么会在每个铁轨的转弯处规定时速,从而确保行车安全．
解 (1) 以火车为研究对象,建立如图所示坐标系．据分析,由牛顿定律有
v2FNsinθ?m (1)
RFNcosθ?mg?0 (2)
解(1)(2)两式可得火车转弯时规定速率为
v0?gRtanθ
(2) 当v＞v0 时,根据分析有
v2FNsinθ?F1cosθ?m (3)
RFNcosθ?F1sinθ?mg?0 (4)
解(3)(4)两式,可得外轨侧压力为
?v2??F1?m?cosθ?gsinθ?R?
??当v＜v0 时,根据分析有
v2FNsinθ?F2cosθ?m (5)
RFNcosθ?F2sinθ?mg?0 (6)
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解(5)(6)两式,可得内轨侧压力为
??v2? F2?m?gsinθ?cosθ??R??2 -12 一杂技演员在圆筒形建筑物内表演飞车走壁．设演员和摩托车的总质量为m,圆筒半径为R,演员骑摩托车在直壁上以速率v 作匀速圆周螺旋运动,每
绕一周上升距离为h,如图所示．求壁对演员和摩托车的作用力．
分析 杂技演员(连同摩托车)的运动可以看成一个水平面内的匀速率圆周运动和一个竖直向上匀速直线运动的叠加．其旋转一周所形成的旋线轨迹展开后,相当于如图(b)所示的斜面．把演员的运动速度分解为图示的v1 和v2 两个分量,显然v1是竖直向上作匀速直线运动的分速度,而v2则是绕圆筒壁作水平圆周运动的分速度,其中向心力由筒壁对演员的支持力FN 的水平分量FN2 提供,而竖直分量FN1 则与重力相平衡．如图(c)所示,其中φ角为摩托车与筒壁所夹角．运用牛顿定律即可求得筒壁支持力的大小和方向
解 设杂技演员连同摩托车整体为研究对象,据(b)(c)两图应有
FN1?mg?0 (1)
FN2v2?m (2)
Rv2?vcosθ?v2πR?2πR?2?h2 (3)
22FN?FN1?FN2 (4)
以式(3)代入式(2),得
FN2m4π2R2v24π2Rmv2??22 (5) 2222R4πR?h4πR?h将式(1)和式(5)代入式(4),可求出圆筒壁对杂技演员的作用力(即支承力)大小为
33
22FN?FN1?FN2?4π2Rv2?2?mg???4π2R2?h2??
??2与壁的夹角φ为
FN24π2Rv2 ?arctan?arctan22FN14πR?h2g??讨论 表演飞车走壁时,演员必须控制好运动速度,行车路线以及摩托车的
方位,以确保三者之间满足解题用到的各个力学规律．
2 -13 一质点沿x轴运动,其受力如图所示,设t ＝0 时,v0＝5m·ｓ-1 ,x0＝2 m,质点质量m ＝1kg,试求该质点7ｓ末的速度和位置坐标．
分析 首先应由题图求得两个时间段的F(t)函数,进而求得相应的加速度函数,运用积分方法求解题目所问,积分时应注意积分上下限的取值应与两时间段相应的时刻相对应．
解 由题图得
0?t?5s?2t, F?t???35?5t, 5s?t?7s?由牛顿定律可得两时间段质点的加速度分别为
a?2t, 0?t?5s
a?35?5t, 5s?t?7s
对0 ＜t ＜5ｓ 时间段,由a?dv得 dt?vv0dv??adt
0t积分后得 v?5?t2
dx再由v?得
dt?1积分后得x?2?5t?t3
3
xx0dx??vdt
0t34
将t ＝5ｓ 代入,得v5＝30 m·ｓ 和x5 ＝68.7 m 对5ｓ＜t ＜7ｓ 时间段,用同样方法有
-1
?xx5vv0dv??a2dt
5stt得 v?35t?2.5t2?82.5t 再由 ?dx??vdt
5s得
x ＝17.5t2 -0.83t3 -82.5t ＋147.87
将t ＝7ｓ代入分别得v7＝40 m·ｓ-1 和 x7 ＝142 m
2 -14 一质量为10 kg 的质点在力F 的作用下沿x 轴作直线运动,已知F ＝120t ＋40,式中F 的单位为N,t 的单位的ｓ．在t ＝0 时,质点位于x ＝5.0 m处,其速度v0＝6.0 m·ｓ-1 ．求质点在任意时刻的速度和位置．
分析 这是在变力作用下的动力学问题．由于力是时间的函数,而加速度a＝dv/dt,这时,动力学方程就成为速度对时间的一阶微分方程,解此微分方程可得质点的速度v (t)；由速度的定义v＝dx /dt,用积分的方法可求出质点的位置．
解 因加速度a＝dv/dt,在直线运动中,根据牛顿运动定律有
dv dt依据质点运动的初始条件,即t0 ＝0 时v0 ＝6.0 m·ｓ-1 ,运用分离变量法对
120t?40?m上式积分,得
?dv???12.0t?4.0?dt
v00vtv＝6.0+4.0t+6.0t2
又因v＝dx /dt,并由质点运动的初始条件：t0 ＝0 时x0 ＝5.0 m,对上式分离变量后积分,有
?xx0dx??6.0?4.0t?6.0t2dt
0t??x ＝5.0+6.0t+2.0t2 +2.0t3
2 -15 轻型飞机连同驾驶员总质量为1.0 ×103 kg．飞机以55.0 m·ｓ-1 的速率在水平跑道上着陆后,驾驶员开始制动,若阻力与时间成正比,比例系数α＝5.0 ×102 N·ｓ-1 ,空气对飞机升力不计,求：(1) 10ｓ后飞机的速率；(2) 飞机着陆后10ｓ内滑行的距离．
分析 飞机连同驾驶员在水平跑道上运动可视为质点作直线运动．其水平方向所受制动力F 为变力,且是时间的函数．在求速率和距离时,可根据动力学方程和运动学规律,采用分离变量法求解．
解 以地面飞机滑行方向为坐标正方向,由牛顿运动定律及初始条件,有
dvF?ma?m??αt
dt 35