?故 y??y0dy???v00mvdv
mg?kv?m?mg?kv0???ln1??v??0??183m k?k?mg???v0
和g
讨论 如不考虑空气阻力,则物体向上作匀减速运动．由公式t?
vy?0分别算得t≈6.12ｓ和y≈184 m,均比实际值略大一些．
2g2 -21 一物体自地球表面以速率v0 竖直上抛．假定空气对物体阻力的值为Fr ＝kmv2 ,其中m 为物体的质量,k 为常量．试求：(1) 该物体能上升的高度；(2)物体返回地面时速度的值．(设重力加速度为常量．)
2
分析 由于空气对物体的阻力始终与物体运动的方向相反,因此,物体在上抛过程中所受重力P 和阻力Fr 的方向相同；而下落过程中,所受重力P 和阻力Fr 的方向则相反．又因阻力是变力,在解动力学方程时,需用积分的方法．
解 分别对物体上抛、下落时作受力分析,以地面为原点,竖直向上为y 轴(如图所示)．(1) 物体在上抛过程中,根据牛顿定律有
?mg?kmv2?mdvvdv?m dtdy依据初始条件对上式积分,有
?y0dy???0v0vdv
g?kv21?g?kv2?? y??ln?2??2k?g?kv0?物体到达最高处时, v ＝0,故有
41
2?1?g?kv0? h?ymax?ln???2k?g?(2) 物体下落过程中,有
?mg?kmv2?mvdv dy对上式积分,有
?y0dy???0v0vdv
g?kv2?1/2?kv2?则 v?v0??1?g????
2 -22 质量为m 的摩托车,在恒定的牵引力F的作用下工作,它所受的阻力
与其速率的平方成正比,它能达到的最大速率是vm ．试计算从静止加速到vm/2所需的时间以及所走过的路程．
分析 该题依然是运用动力学方程求解变力作用下的速度和位置的问题,求解方法与前两题相似,只是在解题过程中必须设法求出阻力系数k．由于阻力Fr ＝kv2 ,且Fr又与恒力F 的方向相反；故当阻力随速度增加至与恒力大小相等时,加速度为零,此时速度达到最大．因此,根据速度最大值可求出阻力系数来．但在求摩托车所走路程时,需对变量作变换．
解 设摩托车沿x 轴正方向运动,在牵引力F和阻力Fr 同时作用下,由牛顿定律有
dvF?kv2?m (1)
dt当加速度a ＝dv/dt ＝0 时,摩托车的速率最大,因此可得
k＝F/vm2 (2)
由式(1)和式(2)可得
?v2?dv?F?1??m (3) ?v2?dtm??根据始末条件对式(3)积分,有
1m2vm?v2??0dt?F?0??1?v2??dv
m??t?1则 t?又因式(3)中mmvmln3 2Fdvmvdv?,再利用始末条件对式(3)积分,有 dtdx 42
1m2vm?v2??0dx?F?0??1?v2??dv
m??x22mvm4mvmln?0.144则 x? 2F3F?1*2 -23 飞机降落时,以v0 的水平速度着落后自由滑行,滑行期间飞机受到
的空气阻力F1＝-k1 v2 ,升力F2＝k2 v2 ,其中v为飞机的滑行速度,两个系数之比k1/ k2 称为飞机的升阻比．实验表明,物体在流体中运动时,所受阻力与速度的关系与多种因素有关,如速度大小、流体性质、物体形状等．在速度较小或流体密度较小时有F∝v,而在速度较大或流体密度较大的有F∝v2 ,需要精确计算时则应由实验测定．本题中由于飞机速率较大,故取F∝v2 作为计算依据．设飞机与跑道间的滑动摩擦因数为μ,试求飞机从触地到静止所滑行的距离．以上计算实际上已成为飞机跑道长度设计的依据之一．
分析 如图所示,飞机触地后滑行期间受到5 个力作用,其中F1为空气阻力, F2 为空气升力, F3 为跑道作用于飞机的摩擦力,很显然飞机是在合外力为变力的情况下作减速运动,列出牛顿第二定律方程后,用运动学第二类问题的相关规律解题．由于作用于飞机的合外力为速度v的函数,所求的又是飞机滑行距离x,因此比较简便方法是直接对牛顿第二定律方程中的积分变量dt 进行代换,将dt dx用代替,得到一个有关v 和x 的微分方程,分离变量后再作积分． v解 取飞机滑行方向为x 的正方向,着陆点为坐标原点,如图所示,根据牛顿第二定律有
dv FN?k1v2?m (1)
dtFN?k2v2?mg?0 (2)
将式(2)代入式(1),并整理得
dvdv?μmg??k1?μk2?v2?m?mv
dtdx分离变量并积分,有
?
vv0?mvdv???0dx μmg??k1?μk2?v243
得飞机滑行距离
?μmg??k1?μk2?v2?m (3) x?ln??2?k1?μk2??μmg?考虑飞机着陆瞬间有FN＝0 和v＝v0 ,应有k2v02 ＝mg,将其代入(3)式,可得飞机滑行距离x 的另一表达式
2?k1?k2v0? x?ln???2g?k1?μk2??μk2?讨论 如飞机着陆速度v0＝144 km·h-1 ,μ＝0.1,升阻比
k1
?5,可算得飞机k2
的滑行距离x ＝560 m,设计飞机跑道长度时应参照上述计算结果．
2 -24 在卡车车厢底板上放一木箱,该木箱距车箱前沿挡板的距离L ＝2.0 m,已知刹车时卡车的加速度a ＝7.0 m·ｓ-2 ,设刹车一开始木箱就开始滑动．求该木箱撞上挡板时相对卡车的速率为多大？设木箱与底板间滑动摩擦因数μ＝0.50．
分析 如同习题2 -5 分析中指出的那样,可对木箱加上惯性力F0 后,以车厢为参考系进行求解,如图所示,此时木箱在水平方向受到惯性力和摩擦力作用,图中a′为木箱相对车厢的加速度．
解 由牛顿第二定律和相关运动学规律有
F0 -Fｆ＝ma -μmg＝ma′ (1) v′ 2 ＝2a′L (2)
联立解(1)(2)两式并代入题给数据,得木箱撞上车厢挡板时的速度为
v??2?a?μg?L?2.9m?s?2
*2 -25 如图(a)所示,电梯相对地面以加速度a 竖直向上运动．电梯中有一滑轮固定在电梯顶部,滑轮两侧用轻绳悬挂着质量分别为m1 和m2 的物体A和B．设滑轮的质量和滑轮与绳索间的摩擦均略去不计．已知m1 ＞m2 ,如以加速运动的电梯为参考系,求物体相对地面的加速度和绳的张力．
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分析 如以加速运动的电梯为参考系,则为非惯性系．在非惯性系中应用牛顿定律时必须引入惯性力．在通常受力分析的基础上,加以惯性力后,即可列出牛顿运动方程来．
解 取如图(b)所示的坐标,以电梯为参考系,分别对物体A、B 作受力分析,其中F1 ＝m1a,F2 ＝m2a 分别为作用在物体A、B 上的惯性力．设ar为物体相对电梯的加速度,根据牛顿定律有
m1g?m1a?FT1?m1ar (1)
m2g?m2a?FT2??m2ar (2)
FT2?FT2 (3)
由上述各式可得
ar?m1?m2?g?a?
m1?m2FT2?FT2?2m1m2?g?a?
m1?m2由相对加速度的矢量关系,可得物体A、B 对地面的加速度值为
a1?ar?a??m1?m2?g?2m2a
m1?m22m1a??m1?m2?g
m1?m2a2???ar?a???a2 的方向向上, a1 的方向由ar 和a 的大小决定．当ar ＜a,即m1g -m2g -2m2 a＞0 时,a1 的方向向下；反之, a1 的方向向上．
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