311Q1?1?Qb?Qc?Qd?Q0Q2?2??Qc?Qd?Q0Q3?3?Qd?Q04，2，4
23由Av1?4A2v，得Q0?4A2v?4?0.04m?5m/s=0.8m/s
Q3断面1-1，流量Q1?1?Q0?0.6m3/s，流速v1?1?1?1?2.4m/s
A14Q1断面2-2，流量Q1?1?Q0?0.4m3/s，流速v1?1?1?1?1.8m/s
A12Q1断面3-3，流量Q1?1?Q0?0.2m3/s，流速v1?1?1?1?0.6m/s
A143-9 图示蒸气分流叉管。已知干管分叉前的直径d0＝50mm，流速V0＝25m/s，蒸气密度?0?2.62kg/m3。分叉后的直径d1＝45mm，蒸气密度?0?2.24kg/m3。支管直径d2＝40mm，蒸气密度?0?2.3kg/m3。为了保证分叉后两管的流量相等，试求两管末端的断面平均流速V1和V2。（应该算质量流量而不是体积流量）
解：取控制体，由质量守恒公式Q??Au?const得
?0A0v0??1A1v1??2A2v2，即
?0?d024v0??1?d124v1?v1??2?d224v2
v2
由于分叉后两管的流量相等得，
?1?d124?2?d224两式联立解得：v1?18.05m/s,v2?22.25m/s
3-10 求下列流动的线变形速率、角变形速率(k为常数)。
?y?u??x2?y2?u??ky?(1) ? (2) ? (3)
xv?kx??v??x2?y2??u?2y ?v?2x?解：(1) 线变形速率?xx??v?u?0， ?0,?yy??y?x1??v?u?角变形速率?xy?????0
2??x?y?(2) 线变形速率?xx??u2xy?v?2xy????,， yy?x?x2?y2?2?y?x2?y2?21??v?u?y2?x2y2?x2y2?x2??角变形速率?xy?????
2??x?y?2?x2?y2?22?x2?y2?2?x2?y2?2(3) 线变形速率?xx??v?u?0， ?0,?yy??y?x1??v?u?角变形速率?xy?????2
2??x?y?3-11已知u?x2y?y2,v?x2?y2x，试求此流场中在x＝l，y＝2点处的线变形速率、角变形速率和涡量。
解：由ux?x2y?y2，v?x2?y2x，x?1，y?2，得 线变速率为：?xx??v?u??2xy??4 ?2xy?4，?yy??y?x1??v?u?113角变速率为：?xy?????(2x?y2?x2?2y)?(2?4?1?4)?
2??x?y?222涡量为： ?z??u?v??2x?y2?x2?2y?2?4?1?4??7 ?x?y3-12 试判别题3-5所列流动中、哪些是有旋流动，哪些是无旋流动。
??w?v???u?w???v?u?解：在直角坐标系中当Ω????i???j?????k?0时，为无旋流
??y?z???z?x???x?y?动，否则为有旋流动。
11?1?vr 在极坐标系中当?z?((rv?)?)?0时，为无旋流动。
2r?rr??（1）Ω?2kk，k?0时为无旋流动。 （2）Ω?0，为无旋流动。 （3）Ω?0，为无旋流动。 （4）Ω??a，为有旋流动。 （5）Ω?0，为无旋流动。 （6）Ω?0，为无旋流动。
（7）?z?0，为无旋流动。 （8）?z?0，为无旋流动。
（9）
?u?v??4?C?0，不满足连续方程。 ?x?y?u?v??4y，不满足连续方程。 ?x?y（10）
3-13 对于例3—6中柱状强迫涡，(1)计算任一封闭流线的速度环量；(2)算出半径r和r+dr两圆周线的速度环量差dГ；(3)利用式(3—40)和dГ求出涡量ΩZ。
解：(1) 任一封闭流线为半径r的圆周线，则速度环量为
????v?u?2 (udx?vdy)??dxdy?2?dxdy?2??r00??C??A???A??x?y?2(2) 半径r和r+dr两圆周线的速度环量差dГ为
d??2??0?r?dr??2??0r2?4??0rdr (3) 式(3—40)为????v?u?(udx?vdy)???dxdy????Zdxdy ?C??A?A??x?y?3-14 求流场的当地加速度ar、a?。(1) ur?0，u??Cr (2) ur?0，u??C/r。其中，C为常数。
解：在圆柱坐标系中a?Du?u?u1?u?u?u,当地加速度a? ??ur?u??uzDt?t?rr???z?t
3-15 针对下列各情形，分别写出3.4.1节图3—15中速度ud的分解式： (1)矩形abdc在dt＝1.0时段内绕过O点的z向轴逆时针旋转?4；
(2)矩形abdc在dt＝1.0时段内变成平行四边形，ab边绕过O点的z向轴逆时针转动?8，ac边绕过O点的z向轴顺时针转动?8，但对角线倾角和各边边长都保持不变。
解：在三维流场，速度的分解式为：
ud?u??zdy??ydz??xxdx??xydy??xzdz vd?v??xdz??zdx??yydy??yzdz??yxdx wd?w??ydx??xdy??zzdz??zxdx??zydy
(1) 矩形abdc在xy平面内只有旋转运动，旋转角速度为?z?ud???zdy，vd??zdx
?4dt??4rad/s
(2) 矩形abdc在xy平面内角变形运动，?xy??yx?ud??xydy，vd??yxdx
1d?+d???rad/s
2dt83-16流向沿水平方向的剪切流的流速u??y,v?w?0，在t＝0时刻流场中有一长为宽为?y?1的矩形，长度沿x向。(1)求角变形速率和角速率；(2)绘图表示在t＝0.125?x?2，
和t＝0.25时刻矩形受到剪切变形后的形状。
1??v?u?1?解：(1)角变速率为：?xy?????(0??)?rad/s,
2??x?y?22?yz?????(0?0)?0,?zx?????(0?0)?0
2??x?z?22??y?z?21?w?v1?u?w角速率为：?x?(?)?0，?y?(?)?0，
2?y?z2?z?x1??w?v?11??w?u?1?z?(1?v?u1??)?(0??)??rad/s 2?x?y22第四章 流体动力学基础
4-1 设固定平行平板间液体的断面流速分布为
uumax?B/2?y?????B/2?1/7,y?0
总流的动能修正系数为何值?
?B?y?12B22??umaxdy?7umax 解：v??AudA???AB0?B8?2?因为??1.0?3??u?所以 A??dA ?u?u?vA??v?B2?B21??B?7??y8??2??1?dy?1.05 ??7?B?????2???17??1.0?33?u?v?d?1.0?A??AA??v?B?4-2 如图示一股水流自狭长的缝中水平射出，其厚度?0?0.03m，平均流速V0＝8m/s，假设此射流受重力作用而向下弯曲，但其水平分速保持不变。试求(1)在倾斜角??45处的平均流速V；(2)该处的水股厚度?。
解：（1）由题意可知：在45度水流处，其水平分速度仍为8m/s,由勾股定理可得：8V==11.31m/s sin45?（2）水股厚度由流量守恒可得：?0V0D0??VD,由于缝狭长，所以两处厚度近似相等，所以???0V0V?0.03?8?0.021m 11.31