第1课时 等比数列的概念与通项公式
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列数列为等比数列的是( ) A．0，0，0，0，… B．2，4，6，8，…
C．q－1，(q－1)，(q－1)，(q－1)，… 1111
D.，2，3，4，…
2
3
4
2
2
2
2
aaaa解析：A选项中，由于等比数列中的各项都不为0，所以该数列不是等比数列；B选项46
中，2≠2，所以该数列不是等比数列；C选项中，当q＝1时，数列为0，0，0，…，不是
2411
等比数列；D选项中的数列是首项为，公比为的等比数列，故选D.
2
2
aa答案：D
2．在等比数列{an}中，a2 019＝8a2 016，则公比q的值为( ) A．2 B．3 C．4 D．8 解析：a2 019＝8a2 016＝a2 016·q， 所以q＝8，所以q＝2. 答案：A
3．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝( )
3
3
?3?A．4×?? ?2??2?C．4×?? ?3?
2
n?3?B．4×???2??2?D．4×???3?
n－1
n－1
n－1
n
解析：由题意得(a＋1)＝(a－1)(a＋4)，解得a＝5， 3?3?故a1＝4，a2＝6，所以q＝，an＝4×??2?2?答案：B
2a1＋a2*
4．在数列{an}中，对任意n∈N，都有an＋1－2an＝0，则的值为( )
2a3＋a4
.
1A. 41B. 31C. 2
D．1
解析：a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1，a4＝8a1， 2a1＋a24a11所以＝＝. 2a3＋a416a14答案：A
5．已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N)，且a2＋a4＋a6＝9，则log1(a5＋a7＋
3
*
a9)的值是( )
A．－5
1B．－
5
C．5
1D. 5
解析：因为log3an＋1＝log3an＋1，所以an＋1＝3an， 又an≠0.
所以数列{an}是以3为公比的等比数列． 所以a2＋a4＋a6＝a2(1＋q＋q)＝9.
所以a5＋a7＋a9＝a5(1＋q＋q)＝a2q·(1＋q＋q)＝3. 所以log13＝－5.
35
2
4
3
2
4
5
2
4
答案：A 二、填空题
6．等比数列{an}中，a4＝2，a5＝4，则数列{lg an}的通项公式为____________．
a41
解析：因为a5＝a4q，所以q＝2，所以a1＝3＝，
q4
1n－1n－3
所以an＝·2＝2，所以lg an＝(n－3)lg 2.
4答案：lg an＝(n－3)lg 2
7．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________． 解析：因为a8＝a2q，a6＝a2q，a4＝a2q，所以由a8＝a6＋2a4得a2q＝a2q＋2a2q，消去
6
4
2
6
4
2
a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2－q2－2＝0，解得q2＝2，q2＝－1(舍去)，所以a6＝a2q4＝1×22＝4.
答案：4
8．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则的值为________．
解析：因为－1，a1，a2，－4成等差数列，设公差为d，
a2－a1
b2
1
则a2－a1＝d＝[(－4)－(－1)]＝－1，
3因为－1，b1，b2，b3，－4成等比数列， 所以b2＝(－1)×(－4)＝4， 所以b2＝±2.
若设公比为q，则b2＝(－1)q， 所以b2＜0，所以b2＝－2， 所以
2
2
a2－a1－11
＝＝. b2－22
1答案： 2三、解答题
9．在等比数列{an}中． (1)已知a1＝3，q＝－2，求a6； (2)已知a3＝20，a6＝160，求an. 解：(1)由等比数列的通项公式得，
a6＝3×(－2)6－1＝－96.
(2)设等比数列的公比为q，
?a1q＝20，?那么?5
?aq＝160，?1??q＝2，解得?
?a1＝5.?
2
所以an＝a1qn－1
＝5×2
n－1
.
810．在各项均为负数的数列{an}中，已知2an＝3an＋1，且a2·a5＝.
27(1)求证：{an}是等比数列，并求出其通项．
16
(2)试问－是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理
81由．
(1)证明：因为2an＝3an＋1， 所以
an＋12
＝. an3
又因为数列{an}的各项均为负数， 所以a1≠0，
2
所以数列{an}是以为公比的等比数列．
3
所以an＝a1·qn－1
?2?＝a1·???3?
n－1
.
?2?所以a2＝a1·???3??2?a5＝a1·???3?
5－1
2－1
2
＝a1， 3
16
＝a1， 81
2168
又因为a2·a5＝a1·a1＝，
3812792
所以a1＝.
4
3
又因为a1<0，所以a1＝－.
2
?3??2?所以an＝?－?×???2??3?
n－1
?2?＝－???3?
n－2
(n∈N)．
*
?2?(2)解：令an＝－???3?
n－2
16＝－，
81
*
则n－2＝4，n＝6∈N，
16
所以－是这个等比数列中的项，且是第6项．
81
B级 能力提升
1．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，则an＝( ) A．2－1
nB．2
n－1
－1 C．2n－1 D．2(n－1)
解析：等式两边同时加1，得an＋1＋1＝2(an＋1)，所以数列{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，q＝2为公比的等比数列，所以an＋1＝2×2
答案：A
2．已知等比数列{an}为递增数列，a1＝－2，且3(an＋an＋2)＝ 10an＋1，则公比q＝________．
解析：因为等比数列{an}为递增数列，且a1＝－2<0， 所以0 又因为3(an＋an＋2)＝10an＋1，两边同除an， 可得3(1＋q)＝10q， 12 即3q－10q＋3＝0，解得q＝3或q＝. 31 而0 3 2 n－1 ＝2，所以an＝2－1. nn1答案： 3 3．设关于x的二次方程anx－an＋1x＋1＝0(n＝1，2，3，…)有两根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3. (1)试用an表示an＋1； ?2? ?a－(2)求证：n?是等比数列； 3?? 2 7 (3)当a1＝时，求数列{an}的通项公式及项的最大值． 6(1)解：根据根与系数的关系， ??得?1 αβ＝.??aα＋β＝ nan＋1 ，an 代入题设条件6(α＋β)－2αβ＝3， 得 6an＋12 －＝3. anan11 所以an＋1＝an＋. 23 11 (2)证明：因为an＋1＝an＋， 232?21? 所以an＋1－＝?an－?. 3?32? 22222 若an＝，则方程anx－an＋1x＋1＝0可化为x－x＋1＝0， 333即2x－2x＋3＝0. 此时Δ＝(－2)－4×2×3<0， 22 所以an≠，即an－≠0. 33 ?2?1 所以数列?an－?是以为公比的等比数列． 3?2? 2 2 721 (3)解：当a1＝时，a1－＝， 632 ?2?11 所以数列?an－?是以首项为，公比为的等比数列． 3?22? 21?1?所以an－＝×??32?2? n－1 ?1?＝??， ?2? n