《概率论》计算与证明题 113 第4章 数字特征与特征函数
2、袋中有k号的球k只，k?1,2,?,n，从中摸出一球，求所得号码的数学期望。 3、随机变量?取非负整数值n?0的概率为pn?ABn/n!，已知E??a，试决定A与B。 7、袋中有n张卡片，记号码1,2,?,n,从中有放回地抽出k张卡片来，求所得号码之和?的数学期望
及方差。
?9、试证：若取非负整数值的随机变量?的数学期望存在，则E???P{?k?1?|x??|?k}。
11、若随机变量?服从拉普拉斯分布，其密度函数为p(x)?E?，D?。
12?e?,???x??, ??0。试求
13、若?1,?2相互独立，均服从N(a,?2)，试证Emax(?1,?2)?a???。
17、甲袋中有a只白球b只黑球，乙袋中装有?只白球?只黑球，现从甲袋中摸出c(c?a?b)只球放
入乙袋中，求从乙袋中再摸一球而为白球的概率。
20、现有n个袋子，各装有a只白球b只黑球，先从第一个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第
二个袋子中，再从第二个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第三个袋子中，照这样办法依次摸下去，最后从第n个袋子中摸出一球并记下颜色，若在这n次摸球中所摸得的白球总数为Sn，求
Sn。
21、在物理实验中，为测量某物体的重量，通常要重复测量多次，最后再把测量记录的平均值作为该体
质重量，试说明这样做的道理。
24、若?的密度函数是偶函数，且E???，试证?与?不相关，但它们不相互独立。
?1?,25、若?,?的密度函数为p(x,y)????0,?x?y?1x?y?122222，试证：?与?不相关，但它们不独立。
27、若?与?都是只能取两个值的随机变量，试证如果它们不相关，则独立。 26、若U?aX?b,V?cY?d，试证U,V的相关系数等于X,Y的相关系数。 28、若?1,?2,?3是三个随机变量，试讨论（1）?1,?2,?3两两不相关；
《概率论》计算与证明题 114 （2）D(?1??2??3)?D?1?D?2?D?3；（3）E?1?2?3?E?1?E?2?E?3之间的关系。
29、若?,?服从二元正态分布，E??a,D??1,E??b,D??1。证明：?与?的相关系数r?cosq?，
其中q?P{(??a)(??b)?0}。
(1?r)30、设(?,?)服从二元正态分布，E??E??0,D??D??1,r???r，试证：Emax(?,?)?31、设?与?独立，具有相同分布N(a,?2)，试求p??q?与u??v?的相关系数。 34、若?服从N(a,?2)，试求E|??a|k。
39、若?及?分别记二进制信道的输入及输出，已知P{??1}?p,P{??0}?1?p,
?。
P{??1??1}?q，P{??0??1}?1?q,P{??1???0}?r,P{??0??0}?1?r，试求
输出中含有输入的信息量。
40、在12只金属球中混有一只假球，并且不知道它比真球轻还是重，用没有砝码的天平来称这些球，
试问至少需要称多少次才能查出这个假球，并确定它比真球轻或重。 41、试用母函数法求巴斯卡分布的数学期望及方差。
43、在贝努里试验中，若试验次数v是随机变量，试证成功的次数与失败的次数这两个变量独立的充要
条件，是v服从普阿松分布。
44、设{?k}是一串独立的整值随机变量序列，具有相同概率分布，考虑和???1??2???v，其中v是
随机变量，它与{?k}相互独立，试用（1）母函数法，（2）直接计算证明
E??Ev?E?k,D??Ev?D?k?Dv?(E?k)。
247、若分布函数F(x)?1?F(?x?0)成立，则称它是对称的。试证分布函数对称的充要条件，是它的
特征函数是实的偶函数。 48、试求[0,1]均匀分布的特征函数。
49、一般柯西分布的密度函数为p(x)?expi?{t??1???(x??)??22,??0。证它的特征函数为
t|，利用这个结果证明柯西分布的再生性。|
50、若随机变量?服从柯西分布，??0,??1，而???，试证关于特征函数成立着
f???(t)?f?(t)?f?(t)，但是?与?并不独立。
《概率论》计算与证明题 115 53、求证：对于任何实值特征函数f(t)，以下两个不等式成立：
21?f(2t)?4(1?f(t)),1?f(2t)?2(f(t))。
54、求证：如果f(t)是相应于分布函数F(x)的特征函数，则对于任何x值恒成立：
lim12TT???T?Tf(x)e?itxdt?F(x?0)?F(x?0)。
k?1?d55、随机变量的特征函数为f(t)，且它的n阶矩存在，令Xk?k?klogf(t)?,i?dt?t?0k?n，称Xk为
随机变量的k阶半不变量，试证????b（b是常数）的k(k?1)阶半不变量等于Xk。 56、试求出半不变量与原点矩之间的关系式。
??1?58、设?1,?2,?,?n相互独立，具有相同分布N(a,?2)试求???????n??的分布，并写出它的数学期望及协???方差阵，再求??1ni??ni?1的分布密度。
?4?22??，试找出矩阵A，使??A?，且要求?服从非1?59、若?服从二元正态分布N(0,?)，其中???退化的正态分布，并求?的密度函数。
60、证明：在正交变换下，多元正态分布的独立、同方差性不变。
第四章 解答
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《概率论》计算与证明题 116
2、解：设?表取一球的号码数。袋中球的总数为1?2???n?k12n12n(n?1)，所以
P{??k}??2kn(n?1),k?1,2,,?,n.
n(n?1)E???n(n?1)k?12k?k?2n(n?1)??n(n?1)(2n?1)6??13n(2n?1).
3、解：由于?是分布，所以应有
??P{?n?0?n}??A?n?0Bn!B?1，即AeB?1,A?e?B。又由已知
E???n?n?0ABn?n!?a，即AB?n?0Bn?1(n?1)!?a，ABe?a, ?B?a,A?e?B?e?a。
7、解：设?表示抽出k张卡片的号码和，?i表示第i次抽到卡片的号码，则???1??2????k，因为是放回抽取，所以诸?i独立。由此得，对i?1,2,?,k。
《概率论》计算与证明题 117 nE?i??j?1j?1n?1nn?j?1j?1n(n?1)n?1， ??n2212k(n?1)；
E??E?1?E?2???E?k?nE?i?2?j?1j?21n?1n(n?1)(2n?1)1??(n?1)(2n?1)， n662D?i?E?i??E?i??216(n?1)(2n?1)?14(n?1)2?112(n?1)，
2D??D?1?D?2???D?n?112k(n?1)。
28.
???9、证：
?P{?k?1?k}???P{??j}
k?1j?k
?{??1}?P{??2}?P{??3}???P{??2}?P{??3???P{??3}??
? ??kP{?k?1?k}?E?
10.