浅析拉格朗日插值法
目录：
一、 引言
二、 插值及多项式插值的介绍 三、 拉格朗日插值的理论及实验
四、 拉格朗日插值多项式的截断误差及实用估计式 五、 参考文献
一、引言
插值在数学发展史上是个古老问题。插值是和拉格朗日（Lagrange）、牛顿（Newton）、高斯（Gauss）等著名数学家的名字连在一起的。在科学研究和日常生活中，常常会遇到计算函数值等一类问题。插值法有很丰富的历史渊源，它最初来源人们对天体研究——有若干观测点（我们称为节点）计算任意时刻星球的位置（插值点和插值）。现在，人们在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科研都有很好的应用，最常见的应用就是气象预报。插值理论和方法能解决在实际中当许多函数表达式未知或形式复杂，如何去构造近似表达式及求得在其他节点处的值的问题。
二、插值及多项式插值
1、插值问题的描述
设已知某函数关系y?f(x)在某些离散点上的函数值：
xx0x1yy0y1????xn?1yn?1xnyn
插值问题：根据这些已知数据来构造函数y?f(x)的一种简单的近似表达式，以便于计算点x?xi,i?0,1,?,n的函数值f(x)，或计算函数的一阶、二阶导数值。
2、插值的几何意义
插值的几何意义如图1所示：
图1 3、多项式插值 3.1 基本概念
假设y?f(x)是定义在区间??a,b??上的未知或复杂函数，但一直该函数在点a?x0?x1???xn?b处的函数值y0,y1,?yn。找一个简单的函数，例如函数
P(x)，使之满足条件
P(x)?iy,? （3.1） i0,1?,2, n ,通常把上述x0?x1???xn 称为插值节点，把P(x)称为f(x)的插值多项式，条件（3.1）称为插值条件，并把求P(x)的过程称为插值法。 3.2 插值多项式的存在性和唯一性 如果插值函数是如下m次的多项式：
mm?1P??am?1x?am m(x)?a0x?a1x那么插值函数的构造就是要确定Pm(x)表达式中的m+1个系数
a0,a1,?am?1a,m。由于插值条件包含n+1独立式，只要m=n就可证明插值函数多项式是唯一存在。
实际上，由n+1个插值条件可得
nn?1?a0x0?a1x0??an?1x0?an?y0?nn?1?a0x1?a1x1??an?1x1?an?y1?
??nn?1??a0xn?a1xn??an?1xn?an?yn 这是一个关于a0,a1,?an的n+1阶线性方程组，且其系数矩阵对应的行列式是线性代数中著名的范德蒙（Vandemonde）行列式。该行列式得值为 Vn(x0,x1,?xn)???(xi?xj)
i?1j?0ni因为i?j时，xi?xj，所以Vn(x0,x1,?xn)?0。从而证明了上述线性方程组的阶是唯一存在的。既满足插值条件的多项式唯一存在。
三、 拉格朗日插值的理论及实验 1、拉格朗日插值的理论
拉格朗日（Lagrange）插值公式的基本思想是把Pn(x)的构造问题转化为n+1个插值基函数li(x)(i?0,1,?,n)。首先我们利用节点直接构造如下多项式：
ln(x)?其中
?n?1(x) '(x?xi)?n?1(x)i ?n?1(x)?(x?x0)(x?x1)?(x?xn)，
' ?n?1(x)?(xi?x0)?(xi?xi?1)(xi?xi?1)?(xi?xn)
容易验证该多项式具有性质
?0,j?ili??
?1,j?i
因此，n次多项式
Ln(x)?l0(x)y0?l1(x)y1??ln(x)yn??lk(x)yk
k?0n一定具有性质