人教版高数必修四第5讲:三角函数图像变换(教师版)

三角函数y?Asin(?x??)的图像变换

教学目标

(?x??)(?x??)1结合具体实例,理解y=Asin的实际意义,会用“五点法”画出函数y=Asin的简图。会用计算机

画图,观察并研究参数A,?,?,进一步明确A,?,?对函数图象的影响。

(?x??)2能由正弦曲线通过平移、伸缩变换得到y=Asin 的图象。

3教学过程中体现由简单到复杂、特殊到一般的化归的数学思想。

知识梳理

1、函数图象的左右平移变换 如在同一坐标系下,作出函数y?sin(x?图象之间的关系。 解析:函数y?sin(x?图。 设x??并指出它们与y?sinx)和y?sin(x?)的简图,

34??3)的周期为2?,我们来作这个函数在长度为一个周期的闭区间上的简

?Z,那么sin(x?)?sinZ,x?Z?

333??2?7?5??、、、、?3?6363。所对应的五点是函数 当Z取0、,?,,2?时,x取322???5??y?sin(x?),x???,?图象上起关键作用的点。

3?33? 列表:

???x ?3 ?30 0 ?6 x???21 2? 3? 0 sin(x??3) 7? 63? 2-1 5?32?0 类似地,对于函数y?sin(x?x ?4? ),可列出下表:

4x?3? 4?4 0 ?21 5? 4? 0 sin(x? 描点作图(如下)

?4) 0 7? 43? 2-1 9?42?0 利用这类函数的周期性,可把所得到的简图向左、右扩展,得出y?sin(x?。 y?sin(x?),x?R的简图(图略)

4?3

),x?R及

? 由图可以看出,y?sin(x??3

)的图象可以看作是把y?sinx的图象上所有的点向左平行移动

??3个单位而得到的,y?sin(x?)的图象可以看作是把y?sinx的图象上所有的点向右平行移动

4?4个单位得到的。

注意:一般地,函数y?sin(x??)(??0)的图象,可以看作是把y?sinx的图象上所有的点

向左(当??0时)或向右(当??0时)平行移动|?|个单位而得到的。 推广到一般有:

将函数y?f(x)的图象沿x轴方向平移|a|个单位后得到函数y?f(x?a)(a?0)的图象。当a>0时向左平移,当a<0时向右平移。

2、函数图象的横向伸缩变换

1y?sinx2的简图,并指出它们与y?sinx图象间的关系。 如作函数y?sin2x及

2?T???y?sin2x2 解析:函数的周期,我们来作x?[0,?]时函数的简图。

3?,?,,2?时,所对应的五点是函数22Z??3?x?、、?y?sinZ,Z?[0,2?]图象上起关键作用的五点,2,4这里所以当x取0、4、2时,所对应的五点是函数y?sin2x,x?[0,?]的图象上起关键作用的五点。

设2x?Z,那么sin2x?sinZ,当Z取0、 列表:

?x 2x 0 0 0 ?4 ??21 2? 0 sin2x 函数y?sin 列表:

3? 43? 2-1 ?2? 0 1的周期2?xT??4?,我们来作x?[0,4?]时函数的简图。

122x 1x 21sinx 20 0 0 ? ? 21 2? ? 0 3? 3? 2-1 4?2?0 描点作图,如图:

利用这类函数的周期性,我们可以把上面的简图向左、右扩展,得出y?sin2x,x?R及

y?sinx0x?R(0)的点的纵坐标同y?sinx2x??x0?sin2(?0)?sin?12时,22上横坐标为x0的点的纵坐标相同(例如,当,

从上图可以看出,在函数y?sin2x的图象上横坐标为

1,x?R的简图(图略)

。 x22)。因此,y?sin2x的图象可以看作是把y?sinx的图象上所有点的横坐标缩1短到原来的2倍(纵坐标不变)而得到的。

1y?sinx2的图象可以看作是把y?sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍 类似地,

(纵坐标不变)而得到的。

注意:一般地,函数y?sin?x(??0且??1)的图象,可以看作是把y?sinx的图象上所有

sinx0?sin??11点的横坐标缩短(当??1时)或伸长(当0???1时)到原来的?倍(纵坐标不变)而得到的。

推广到一般有:

函数y?f(?x)(??0,??1)的图象,可以看作是把函数y?f(x)的图象上的点的横坐标

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