第四章 习题及答案 １。双缝间距为１mm，离观察屏１m，用钠灯做光源，它发出两种波长的单色光? 1=589.0nm和?2=589.6nm，问两种单色光的第10级这条纹之间的间距是多少？ 解：由杨氏双缝干涉公式，亮条纹时：??m?D （m=0, ?1, ?2···） d10?589?10?6?100010?589.6?10?6?1000?5.89nm，x2??5.896nm m=10时，x1?11?x?x2?x1?6?m
２。在杨氏实验中，两小孔距离为1mm，观察屏离小孔的距离为50cm，当用一片折射率
1.58的透明薄片帖住其中一个小孔时发现屏上的条纹系统移动了0.5cm，试决定试件厚度。
S1 n??l?r1?r2r2 D ?x=5mm S2 r1 ?d?r12?D2????x??2??d?r?D????x??2?22222?L (r2?r1)(r2?r1)??d??d????x?????x??d?2?x?2??2?22?r2?r1?2?x?d1?5??10?2mm ,(1.58?1)?l?10?2mm??l?1.724?10?2mm
r1?r25003.一个长30mm的充以空气的气室置于杨氏装置中的一个小孔前，在观察屏上观察到稳定的
干涉条纹系。继后抽去气室中的空气，注入某种气体，发现条纹系移动了２５个条纹，已知照明光波波长?=656.28nm,空气折射率为n0?1.000276。试求注入气室内气体的折射率。
?l(n?n0)?25?S1 S S2 r1 x1 r2 25?656.28?10?6n?n0? 30n?1.000276?0.0005469?1.0008229
４。垂直入射的平面波通过折射率为n的玻璃板，透射光经透镜会聚到焦点上。玻璃板的厚度沿着C点且垂直于图面的直线发生光波波长量级的突变d,问d为多少时焦点光强是玻璃板无突变时光强的一半。
解：将通过玻璃板左右两部分的光强设为I0,当没有突变d时，
??0,I(p)?I0?I0?2I0?I0?cosk??4I0
C 当有突变d时??(n?1)d
'I'(p)?I0?I0?2I0I0cosk?'?2I0?2I0cosk?'?I'(p)?2?1I(p)?cosk?'?02?d?(n?1)d?m???2,(m?0,?1,?2?)
m1?1?)?(m?)n?1242(n?1)2(?６。若光波的波长为?，波长宽度为??，相应的频率和频率宽度记为?和??，证明：
???????，对于?＝632.8nm氦氖激光，波长宽度???2?10nm，求频率宽度和相干
?8长度。 解：
??????CT?C/D,???C????2?????C?????????????????????
?c当?＝632.8nm时
3?108?109????4.74?1014Hz?632.8 ?8????2?10?????4.74?1014??1.5?104Hz??632.8?2(632.8)2??20.02(km) 相干长度 ?max??2?10?8７。直径为0.1mm的一段钨丝用作杨氏实验的光源，为使横向相干宽度大于1mm，双孔必
须与灯相距多远？
bc ? d
? d??l ?6b?d0.1?1?10?l?c??182mm?550?10?9?bc????,bc?8。在等倾干涉实验中，若照明光波的波长??600nm，平板的厚度h=2mm，折射率n=1.5，其下表面涂高折射率介质（n>1.5），问（1）在反射光方向观察到的贺条纹中心是暗还是亮？（2）由中心向外计算，第10个亮纹的半径是多少？（观察望远镜物镜的焦距为20cm） （3）第10个亮环处的条纹间距是多少？
解：（1）因为平板下表面有高折射率膜，所以Δ?2nh?cos?2
当cos?2?1时，中心?＝2?1.5?2＝6mm 6mm6?10－644m0???＝1?10 ?应为亮条纹，级次为10?600nm600?（2） ?1N?1n?1.5?600N?1?q?q?1＝0.067(rad)?3.843o6n'h2?10 RN?20?0.067?13.4（mm)n?1.5?600??0.00336(rad) ?R10＝0.67(mm)262n'?1h2?0.067?2?10(2) 0?q?1
(3) ???1＝注意点：（1）平板的下表面镀高折射率介质
光疏～光密 有半波损失
光疏～光密 也有半波损失 当中心是亮纹时q=1 当中心是暗纹时q=0.5 其它情况时为一个分数 光程差?＝2nhcos?2
9。用氦氖激光照明迈克尔逊干涉仪，通过望远镜看到视场内有20个暗环，且中心是暗斑。然后移动反射镜M1，看到环条纹收缩，并且一一在中心消失了20个环，此时视场内只有10个暗环，试求（1）M1移动前中心暗斑的干涉级次（设干涉仪分光板G1不镀膜）; （2）M1移动后第5个暗环的角半径。 解：
(1)在M1镜移动前 ?1N? 在M1镜移动后 ?1N’?又??1N??1'N得 ?h?N?1n?N1?1?q ， N1＝20.5 ， q?0.5n’h11n?N2?1?q ， N2?10.5 ， q?0.5n’h2h120?hh1?h210? ?? h210h2h210??20?＝10? 解得h1?20?,h2?10?22????2nh1?(2) ?1N?m0??2?20?＋＝40.5? ?m0?40.522
1n???N?1?q5.5?1?0.5?5?0.707(rad)n'h120???本题分析：1。视场中看到的不是全部条纹，视场有限
2。两个变化过程中，不变量是视场大小，即角半径不变
3。条纹的级次问题：
亮条纹均为整数级次，暗条纹均与之相差0.5，公式中以亮条纹记之
11.用等厚条纹测量玻璃楔板的楔角时,在长达5cm的范围内共有15个亮纹,玻璃楔板的折射率n=1.52,所用光波波长为600nm,求楔角.
l50? (mm) N14?/2n600?14????5.6?10?5(rad) e2?1.52?50注意:5cm范围内有15个条纹5 e? 15个亮条纹相当于14个e14解:e? ?h? ? e ?2n r212.图示的装置产生的等厚干涉条纹称牛顿环.证明R?,N和r分别表示第N个暗纹和对
N?应的暗纹半径. ?为照明光波波长,R为球面曲率半径.
证明:由几何关系知,
C r2?R2?(R?h)2?2Rh?h2 R-h R r22略去h得 h? (1) 2R ??又?2h??(2N?1) h 22 ?r2h?N? 代入(1)式得R? r 2N?14.长度为10厘米的柱面透镜一端与平面玻璃相接触,另一端与平面玻璃相隔0.1mm,透镜的曲率半径为1m.问:(1)在单色光垂直照射下看到的条纹形状怎样?(2)在透镜长度方向及与之垂直的方向上,由接触点向外计算,第N个暗条纹到接触点的距离是多少?设照明光波波长为500nm. y y R R-y 0.1mm |y| x h z 0,x/1000 100mm z
解:(1)斜率k?0.111? y?kx?x 0?x?100mm10010001000z22222 z?R?(R?y)?2R|y|?|y| |y|?2R1z2xz2 h?x????常数---(1)10002R10002000?(2N?1) 2h?N?? h?N?代入(1)式得2222xz2z2 N?(?) 解得x?500N???100020002 x?500N ?500(?m)?0.25N(mm)
(2) ??2h????15.假设照明迈克耳逊干涉仪的光源发出波长为?1和?2的两个单色光波, ?2??1???, 且?????,这样当平面镜M1移动时,干涉条纹呈周期性地消失和再现,从而使条纹可见度作
1周期性变化.(1)试求条纹可见度随光程差的变化规律;(2)相继两次条纹消失时,平面镜M1移动的距离?h;(3)对于钠灯,设??589.0nm,??589.6nm均为单色光,求?h值.
122?解:?的干涉光强 I'?I?I?2IIcosk??I?I?2IIcos2h11121211212?12? ?的干涉光强 I'?I?I?2IIcosk??I?I?2IIcos2h22121221212?2设A?I?I B?2II 12122?2?I?I'?I'?2A?B(cos??cos?)12??12??1?2?2??1?2?2?? ???? ?2A?B?2cos???cos?????2?2????1?2???1?2????????????1212 ?2A?B?2cos???cos???22???????2????? ?2A?B?coscos???2?????B???B?? ?2A??1?cos??cos?? ?k?cos??22AA?????2(2)条纹k最大满足关系 2???m? ???m???2??? ?????m 令?m?1 且???2?h 得?h?12
??2????(3) ?h?589.6?589?0.289(mm)2?(589.6?589)16.用泰曼干涉仪测量气体折射率.D1和D2是两个长度为10cm的真空气室,端面分别与光束I和II垂直.在观察到单色光照明?=589.3nm产生的干涉条纹后,缓慢向气室D2充氧气,最后发现条纹 移动了92个,(1)计算氧气的折射率(2)若测量条纹精度为1/10条纹,示折射率的测量精度.