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全国2005年1月高等教育自学考试
线性代数试题
课程代码：02198
一、填空题(每小题2分，共36分) a1. 行列式a2a3bb2b3cc2=_____. c32. 设三阶方阵A的行列式det(A)=3，则A的伴随矩阵A*的行列式det(A*)=_____. ?(a?2)x1?4x2?x3?0?3. 当a=_____时，方程组??4x1?(a?3)x2?4x3?0 有非零解.
??x?4x?(a?4)x?0123??ab?-1
?4. 设A=?，且det(A)=ad-bc≠0，则A=_____. ?cd????21??1?2?T
??5. 设A=?，B=?03??，C=(2-1)，则(A-B)C=_____. ?31?????6. 设向量?1=(1,2,0),?2=(-1,0,3),?3=(2,3,4),且满足：2(?1-?)+(?+?2)=3(?3-?)，则
?=_____.
7. 若?1,?2线性无关，而?1,?2,?3线性相关，则向量组?1,2?2,3?3的最大无关组为_____. 8. n元齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A的秩r 是_____. ?x1?x2?2x3?1?x1?x3?29. 设方程组?，当a取_____时，方程组无解. ?5x?3x?(a?8)x?823?110. 若λ=3是可逆方阵A的一个特征值，则A-1必有一个特征值为______. 11. 设?1,?2分别属于方阵A的不同特征值λ1,λ2的特征向量，则?1与?2必线性_____. 12. 设?1=(1,0,1),?2=(0,1,1),则与?1,?2均正交的非零单位向量为______. 13. 设A为实对称矩阵，?1=(-1,1,1)T，?2=(3,-1,a)分别是属于A的相异特征值λ的特征向量，则a=_____. 14. 设三阶方阵A的特征值为1，-1，-1，且B=A2，则B的特征值为_____. 1 与λ 2 15. 设向量组?1=(1,2,3),?2=(2,1,3),?3=(-1,1,0),则向量组?1,?2,?3的秩是_____. 16. 设η1,η2是方程组AX=b的两个解，则_____必是AX=0的解. ?210???17. 设实对称矩阵A=?1?1a?是二次型f(x1,x2,x3)矩阵，则二次型f(x1,x2,x3)=_____. ?0a3???218. 设实二次型f(x1,x2)=x1+tx1x2+2x22，则当t的取值为_____时，二次型f(x1,x2)是正定的. 二、计算题(共54分) 1112?x21. (5分)解方程： 23232323=0. 1519?x2?1?11??11?1?????2?，B=?110?且满足XA=B，求X. 2. (5分)设A=?02?211??1?10?????3. (6分)已知向量β=(-1,2,μ)可由?1=(1,-1,2)，?2=(0,1,-1)，?3=(2,-3,λ)唯一地线性表示，讨论λ的取值范围. 4. (5分)设1R3的一组基为?1=(0,1,1),?2=(1,1,0),?3=(1,0,1),试将?1，?2，?3化为1R3的一组标准正交基. 5. (5分)设三阶方阵A的特征值为1，2，-2，又B=3A2-A3,说明B能否对角化?若能对角化，试求与B相似的对角阵. 6. (8分)设矩阵C=A［(A-1)2+A*BA-1］A. ?123??110??456??011其中，A=?,B=??. ?????789???111??A*为A的伴随矩阵. (1)化简C (2)计算det(C). ??14?2???7. (10分)求方阵A=??340?的特征值及特征向量. ???313??1?1??1?1??x1???????8. (10分)设A=?2a?2?b?2?,B=?3?,X=?x2?,就a,b各种取值，讨论非齐次线性方程 ????0?3aa?2b????3???x3??组AX=B的解，如有解，就求出解. 三、证明题(每小题5分，共10分) 1. 设A，B都是n阶正交矩阵，证明AB也是正交矩阵.